Milnor关于有限生成群的分类定理的一个几何方法



Milnor关于有限生成群的分类定理的一个几何方法 戎小春 06/27/2019


Abstract. 本文主要是基于戎小春教授报告的一个笔记, 主要记录了他们[1]最近关于Milnor关于有限生成群分类问题的一个等价几何刻画.

1. 字长熵 有限单群的分类被完全解决, 而无限群中, 关于Abel群的分类也已经清楚. 一个自然的问题是比Abel群稍微复杂点的群的分类问题. 而为了刻画一个无限群的复杂程度, 可以用如下的字长熵来定义.
Definition 1. 假设$\Gamma$是一个有限生成的群, 其生成集合为$S$(有限集). 对任意的$\gamma\in\Gamma$, 我们定义其字长为
\[
\lvert \gamma \rvert_S=\min\left\{ k: \gamma=\gamma_{i_1}\gamma_{i_2}\cdots\gamma_{i_k}, \gamma_{i_j}\in S \right\}.
\]

令
\[
\lvert \Gamma(R,S) \rvert={}^\sharp\left\{ \gamma\in \Gamma: \lvert \gamma \rvert_S\leq R \right\},
\]
即$\Gamma$中字长小于$R$的元素个数. 定义$(\Gamma,S)$的字长熵为
\[
h_w(\Gamma,S)\mathpunct{:}=\lim_{R\to\infty}\frac{\ln\lvert \Gamma(R,S) \rvert}{R}.
\]



首先, 我们可以证明
Proposition 2. 对任何有限生成群$\Gamma$, 假设其有限生成集合为$S$, 如上定义的字长熵总是存在的.

Remark 1. 我们称$\Gamma$是对称有限生成的群, 如果其生成集$S$满足$\gamma\in S\iff\gamma^{-1}\in S$对任意的$\gamma\in\Gamma$都成立. 此时, 可以证明$\lvert \cdot \rvert_S$定义了$\Gamma$上一个度量$d_w$,
\[
d_w(\gamma_1,\gamma_2)=\lvert \gamma_1\gamma_2^{-1} \rvert_S.
\]
  • $d_w(\gamma_1,\gamma_2)=d_w(\gamma_2,\gamma_1)\geq0$且$d_w(\gamma_1,\gamma_2)=0\iff\gamma_1=\gamma_2$;
  • $d_w(\gamma_1,\gamma_3)\geq d_w(\gamma_1,\gamma_2)+d_w(\gamma_2,\gamma_3)$.

为了区分有限生成的(无限)群的复杂度, 我们引进两个概念.
Definition 3. 假设$\Gamma$是一个有限生成的群, 其有限生成集为$S$. 我们称$\Gamma$是至多多项式增长的(at most polynomial growth), 如果对某个常数$m$以及充分大的$R$成立
\[
\lvert \Gamma(R,S) \rvert\leq R^m.
\]

Proposition 4. 假设$\Gamma$是至多多项式增长的有限生成群, 则它相对于其他任一生成集合也是至多多项式增长的.

2. Milnor问题 明显, 至多多项式增长的有限生成群的字长熵等于0. 而反过来就是著名的Milnor问题.
Problem 1 ([8]). 假设$\Gamma$是一个有限生成的群, 其有限生成集合为$S$. 如果$h_w(\Gamma,S)=0$, 是否有$\Gamma$为至多多项式增长的?

后来, Grigorchuk [4] 通过构造一个有限生成但不能有限表示的无限群给出了Milnor问题的一个否定回答. 进而Milnor问题应该改为
Problem 2. 假设$\Gamma$是一个有限生成且有限表示的群, 其生成元集合为$S$. 如果$h_w(\Gamma,S)=0$, 那么是否有$\Gamma$是至多多项式增长的?

注意, 这里有限表示对几何学家的意义重大, 因为这样$\Gamma$可以视为一个紧致$n$($n\geq4$)-维黎曼流形的基本群. 参考[2,Thm.~5.1.1]. 而对这种流形几何学家有深入的研究.
3. 一个几何的等价刻画 我们关于等价刻画的启发在于如下的Gromov的一个猜想.
3.1. Gromov的一个猜想 我们知道, 对任何一个群$N$, 其$1$阶交换子群定义为$N_1=[N,N]=\left\{ ghg^{-1}h^{-1}: g,h\in N \right\}$; 递归地定义高阶交换子群$N_k=[N_{k-1},N_{k-1}]$, $N_0=N$. 如果存在$n$使得$N_n=e$, 则$N$称为可解群. 交换子群刻画了一个群的交换性. 明显, 交换群的交换子群是平凡的. 容易证明商群
\[
N/N_1
\]
是一个交换群, 称为$N$的阿贝尔化子群. 事实上, 可以证明交换子群是使得$N/N_1$为交换群的最小子群.

幂零群可看作是“差不多的交换群”, 幂零群都是可解群. 幂零群的定义如下.

Definition 5. 我们称群$N$是一个幂零群, 如果$N$满足如下的递降序列:
\[
N=N_0\triangleright N_1\triangleright\cdots\triangleright N_s=e,\quad N_{i+1}=[N,N_i].
\]

特别地, 如果$N$是一个有限生成的幂零群, 则我们可以通过如下方式来构造基于递降列的对称生成集:
  • 从$N_{s-1}$的生成集(一定有限, 因为$N$是有限生成的)$S_{s-1}=\left\{ g_{s-1;i} \right\}_{i=1}^{k_{s-1}}$出发, 将$N_{s-2}\setminus N_{s-1}$中的元素添加到该生成集得到$S_{s-2}$, 即$S_{s-2}=S_{s-1}\bigcup \left( N_{s-2}\setminus N_{s-1} \right)$;
  • 不断重复该过程, 经过$s-1$步, 则我们可以得到一个生成集$S_0$, 令$S=S_0\bigcup S_0^{-1}$, 则$S$是$N$的一个有限对称生成集. 我们称其为分次对称生成集.
Wolf[10]证明了有限生成幂零群是至多多项式增长的.
Theorem 6. 假设$\Gamma$是一个有限生成的幂零群, 则$\Gamma$是至多多项式增长的(at most polynomial growth).

比幂零群稍微差一点的群是所谓的几乎幂零群(almost nilpotent group). 其定义如下
Definition 7. 我们称群$\Gamma$是几乎幂零群, 如果$\Gamma$有一个幂零子群$N$, 使得指数$[\Gamma:N]<+\infty$.

事实上[1]*{Lem.~1.4}的一个结果说明几乎幂零群也是至多多项式增长的.

Theorem 8 ([5]). 给定$n\in \mathbb{Z}$, 存在常数$\epsilon(n), C(n)>0$, 使得如果$M$是一个完备的$n$-维黎曼流形满足
\[
\mathrm{Ric}_M\geq-(n-1),\quad \mathrm{diam}(M)\leq \epsilon(n),
\]
那么基本群$\pi_1(M)$是几乎幂零的, 即存在幂零子群$N$使得其指数满足
\[
[\pi_1(M):N]\leq C(n).
\]

一个自然的问题是, 上述条件中$\epsilon(n)$的上确界是多少? 取得上确界时的流形是哪些? Chen-Rong-Xu [1]发现在一个自然条件下, 这一问题和Milnor猜想等价. 为此, 我们还需要定义一种熵.
Definition 9. 假设$M$是一个黎曼流形, 令$\tilde{M}$为其黎曼万有覆盖. 我们称
\[
h(M) \mathpunct{:}=\lim_{R\to\infty}\frac{\ln\lvert B_R(\tilde{p}) \rvert}{R},\quad\tilde{p}\in\tilde{M},
\]
为流形$M$的体积熵(volume entropy).

可以证明(参考[6]), 体积熵总是存在的, 而且与$\tilde{p}\in\tilde{M}$的选择无关.
Remark 2. 体积熵是黎曼流形$M$的一个渐进几何不变量, 它刻画了$M$的黎曼万有覆盖上球的体积关于半径的指数增长速度.

Problem 3. 给定$n\in \mathbb{Z}^+$, $d>0$, 存在常数$\epsilon(n,d)>0$, 使得对任何完备$n$-维黎曼流形$M$, 如果
\[
\mathrm{Ric}_M\geq-(n-1),\quad d\geq \mathrm{diam}(M), \quad h(M)<\epsilon(n,d),
\]
那么$\pi_1(M)$有一个具有有限指数的幂零子群, 即$\pi_1(M)$是几乎幂零的.

Chen–Rong–Xu[1]的主要定理如下
Theorem 10. Milnor关于有限生成且有限表示群的问题2等价于猜想3.

Remark 3. 当$M$是紧流形时, Milnor[7]证明了
\[
h_w(\pi_1(M),S)\leq h(M)\leq C h_w(\pi_1(M),S),
\]
即$h_w(\pi_1(M),S)=0\iff h(M)=0$. 这里$C$是一个依赖于$S$的常数.

从而结合任何有限表示的有限生成群都可以视为某个$n\geq4$的紧流形$M$的基本群$\Gamma=\pi_1(M)$, 而且此时$h_w(\pi_1(M),S)=0\iff h(M)=0$. 从而Chen–Rong–Xu的猜想自然蕴含Milnor问题的肯定答案. 而Chen–Rong–Xu的主要工作是证明$h(M)\ll1$时, 有$\pi_1(M)$是几乎幂零的.
4. 证明的基本想法 由Gromov紧性定理, 等价于证明在Milnor问题2有肯定答案时, 证明对一个$n$-维紧流形的收敛序列$M_i\GHto X$, 其中$M_i$满足
\[
\mathrm{Ric}_{M_i}\geq -(n-1),\quad d\geq \mathrm{diam}(M_i),\quad h(M_i)\to 0,
\]
成立对充分大的$i$, 有$\Gamma_i=\pi_1(M_i)$是几乎幂零的.

利用[3], 我们知道, 存在黎曼万有覆盖的等变收敛子序列$(\tilde{M}_i,\tilde{p}_i,\Gamma_i)\GHto(\tilde{X}, \tilde{p}, G)$, 而且存在$\epsilon>0$, 使得子群
\[
\Gamma_{i,\epsilon}=\left\{ \gamma_i\in\Gamma_i: d(\tilde{q}_i,\gamma_i(\tilde{q}_i))<\epsilon,\,\tilde{q}_i\in B_1(\tilde{p}_i) \right\}
\]
时正规的. 此外, 对充分大的$i$,
\[
\Gamma_{i}/\Gamma_{i,\epsilon}\simeq G/G_0
\]
这里, $G_0$时$G$的单位元分支. 现在, 我们分如下两种情况:

  1. 非坍塌情形: 即$\mathrm{vol}(M_i)\geq v>0$; 此时, $G_0=e$, 对充分大的$i$, 有$\Gamma_{i,\epsilon}=e$, 即$\Gamma_i=G$. 参考[1]*{Lem.~1.10}. 因此, $h_w(\Gamma_i)=0$ 而且由Milnor问题2的肯定答案, $\Gamma_i$是至多多项式增长的.
  2. 坍塌情形: 即当$i\to\infty$时, $\mathrm{vol}(M_i)\to0$. 对$(\Gamma_i,\Gamma_{i,\epsilon})$利用[5]关于基本群的稳定结构结果 (参考[1]*{Thm.~1.12}), 得到$\Gamma_{i,\epsilon}$包含一个幂零子群$N_i$, 且它是$\Gamma_i$的正规子群. 此外$\Lambda_i=\Gamma_i/N_i$具有有限多个同胚类(isomorphic classes). 且存在递降列
    \begin{equation}\label{eq:Nilpotent-condition}
    1\to N_i\to \Gamma_i\xrightarrow{\pi_i}\to\Lambda_i\to1,\quad
    N_i=N_{i1}\triangleright\cdots N_{ik}\triangleright N_{ik+1}=\mathrm{Tor}(N_i),
    \end{equation}
    满足
    • 长度一致有界, 即$k\leq n$;
    • $[N_i, N_{ih}]\subset N_{ih+1}$, $N_{ih}/N_{ih+1}$是自由Abel群, $1\leq h\leq k$;
    • 共轭映射$\bar{\rho}_h \mathpunct{:} \Lambda_i\to \mathrm{Aut}(N_{ih}/N_{ih+1})$在自同构意义下, 只允许有限多个选择.
    因此, 通过取子列, 我们可以假设$\Lambda_i=\Lambda$而且$\bar{\rho}_h \mathpunct{:}\Lambda\to \mathrm{Aut}(N_{ih}/N_{ih+1})$不依赖于充分大的$i$. 不妨假设$B_i$是$N_i$的生成元集, $\bar{S}_0=\pi_i(S_{0,i})$(不依赖于$i$)生成$\Lambda_i$, 且$B_i\cap S_{0,i}=\emptyset$. 我们令$S_i=B_i\bigcup S_{0,i}$是一个对称生成元集.

    Chen–Rong–Xu 主要需要证明如下的定理, 它给出了判断$\Gamma$是至多多项式增长的一个充分条件. 其证明和[10]类似.

    Theorem 11. 假设$\Gamma$是一个有限生成的群. 如果$\Gamma$具有一个正规的幂零子群$N$, 其中$N$满足\eqref{eq:Nilpotent-condition}以及如下两个条件:
    1. $\Lambda$是几乎幂零的, 且$\bar{S}_0$是$\Lambda$的一个分次对称生成元集;
    2. 对$\gamma\in S_0$, 如果$\pi(\gamma)$的阶有限, 则对所有的$1\leq h\leq k$, $\bar{\rho}_h(\pi(\gamma))$的特征值的模长为1.
    则$\Gamma$是至多多项式增长的.

    因此, 我们只需验证定理11中的两个条件. 注意到A可由
    \[
    h_w(\Lambda,\bar{S}_0)\leq h_w(\Gamma_i,S_i)\to0,
    \]
    以及Milnor问题2的肯定答案得到. 而A的验证基于$h_w(\Gamma)$的一个下界估计, 其中$\Gamma$满足
    \[
    1\to \mathbb{Z}^k\to\Gamma\to \mathbb{Z}\to 1,
    \]
    参考[9], 以及$\bar{\rho}_h$的有限性(见[1]*{Lem.~2.1}).

References
  1. L. Chen, X. Rong and S. Xu, A Geometric Approach to the Modified Milnor Problem, arXiv e-prints (2018), arXiv:1806.02531.
  2. D. Collins and H. Zieschang, Combinatorial group theory and fundamental groups, Encyclopaedia Math. Sci., Springer, Berlin, vol. 58, 1993. 1---166. MR1265270
  3. K. Fukaya and T. Yamaguchi, The fundamental groups of almost non-negatively curvedmanifolds, Ann. of Math. (2) 136(1992), no. 2, 253---333. MR1185120
  4. R. Grigorchuk, On the Milnor problem of group growth, Dokl. Akad. Nauk SSSR 271(1983), no. 1, 30---33. MR712546
  5. V. Kapovitch and B. Wilking, Structure of fundamental groups of manifolds with Ricci curvature bounded below, arXiv e-prints (2011), arXiv:1105.5955.
  6. A. Manning, Topological entropy for geodesic flows, Ann. of Math. (2) 110(1979), no. 3, 567---573. MR554385
  7. J. Milnor, A note on curvature and fundamental group, J. Differential Geometry 2(1968), 1---7. MR0232311
  8. J. Milnor, Problems and Solutions: Advanced Problems: 5608, Amer. Math. Monthly 75(1968), no. 6, 685---686. MR1534960
  9. D. Osin, The entropy of solvable groups, Ergodic Theory Dynam. Systems 23(2003), no. 3, 907---918. MR1992670
  10. J. Wolf, Growth of finitely generated solvable groups and curvature ofRiemannian manifolds, J. Differential Geometry 2(1968), 421---446. MR0248688

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