自旋几何简介 02/11/2020
Definition 1 (自旋结构). 假设$(M^m,h)$是一个可定向黎曼流形。 $M$上的一个自旋结构是一个二元对$(\mathrm{Spin}(M),\eta)$，其中$\mathrm{Spin}(M)$是$M$上一个$\mathrm{Spin}_m$-主丛，而$\eta$是一个2重覆盖使得下图交换
\[
\begin{CD}
\mathrm{Spin}(M)\times \mathrm{Spin}_m@>\rho_1>> \mathrm{Spin}(M)@>\pi>> M\\
@VV \eta\times \mathrm{Ad}V@VV\eta V@|\\
\mathrm{SO}(M)\times \mathrm{SO}_m@>\rho_2>> \mathrm{SO}(M)@>>\pi>M,
\end{CD}
\]
其中$\rho_1$, $\rho_2$分别是自旋群$\mathrm{Spin}_m$和$\mathrm{SO}_m$作用在主丛$\mathrm{Spin}(M)$和$\mathrm{SO}(M)$上。
\[
\begin{CD}
\mathrm{Spin}(M)\times \mathrm{Spin}_m@>\rho_1>> \mathrm{Spin}(M)@>\pi>> M\\
@VV \eta\times \mathrm{Ad}V@VV\eta V@|\\
\mathrm{SO}(M)\times \mathrm{SO}_m@>\rho_2>> \mathrm{SO}(M)@>>\pi>M,
\end{CD}
\]
其中$\rho_1$, $\rho_2$分别是自旋群$\mathrm{Spin}_m$和$\mathrm{SO}_m$作用在主丛$\mathrm{Spin}(M)$和$\mathrm{SO}(M)$上。
$M$上自旋结构的存在性等价于$M$的第二Stiefel-Whitney类$\omega_2(M)=0$，这是一个拓扑限制。
Definition 2 (旋量丛). 假设$M$是一个黎曼流形，关于其上自旋结构$\mathrm{Spin}(M)$的（复）旋量丛定义为
\[
\Sigma M \mathpunct{:}=\mathrm{Spin}(M)\times_\rho\Sigma_m,
\]
其中$\rho \mathpunct{:} \mathrm{Spin}_n\to \mathrm{Aut}(\Sigma_m)$是自旋群$\mathrm{Spin}_m$的（复）表示。
\[
\Sigma M \mathpunct{:}=\mathrm{Spin}(M)\times_\rho\Sigma_m,
\]
其中$\rho \mathpunct{:} \mathrm{Spin}_n\to \mathrm{Aut}(\Sigma_m)$是自旋群$\mathrm{Spin}_m$的（复）表示。
在旋量丛$\Sigma M$上，我们有Clifford关系
\[
X\cdot Y\cdot \psi+Y\cdot X\cdot \psi=-2h(X,Y)\psi,\quad\forall X,Y\in\Gamma(TM),\,\psi\in\Gamma(\Sigma M),
\]
这里$h$是$M$上的度量。如果我们选择$\Sigma M$上的诶米尔特度量，这Clifford乘法是反对称的，即
\[
\left\langle X\cdot\psi_1,\psi_2 \right\rangle+\left\langle \psi_1,X\cdot\psi_2 \right\rangle=0,\quad\forall X\in\Gamma(TM),\,\psi_1,\psi_2\in\Gamma(\Sigma M).
\]
利用$M$上的黎曼联络，可以诱导$\Sigma M$上的一个联络$\nabla^{\Sigma M}$, 如果将其对应的曲率记为$R^{\Sigma M}$, 则有如下基本关系.
Proposition 3 (旋量丛上联络与曲率的局部表示). 旋量丛$\Sigma M$上的共变微分局部可表示为
\[
\nabla^{\Sigma M}\psi=\frac{1}{4}h(\nabla e_{\alpha},e_{\beta})e_\alpha\cdot e_\beta\cdot \psi;
\]
如果我们将$M$上的黎曼曲率记为$R^M$, 则
\[
R^{\Sigma M}(X,Y)\psi=\frac{1}{4}h\left( R^{M}(X,Y)e_\alpha,e_\beta \right)e_\alpha\cdot e_\beta\cdot\psi.
\]
这里，$X,Y\in\Gamma(TM)$, $\left\{ e_\alpha \right\}$是$TM$的一个局部幺正标架。
\[
\nabla^{\Sigma M}\psi=\frac{1}{4}h(\nabla e_{\alpha},e_{\beta})e_\alpha\cdot e_\beta\cdot \psi;
\]
如果我们将$M$上的黎曼曲率记为$R^M$, 则
\[
R^{\Sigma M}(X,Y)\psi=\frac{1}{4}h\left( R^{M}(X,Y)e_\alpha,e_\beta \right)e_\alpha\cdot e_\beta\cdot\psi.
\]
这里，$X,Y\in\Gamma(TM)$, $\left\{ e_\alpha \right\}$是$TM$的一个局部幺正标架。
事实上，旋量丛上的共变微分还和丛度量以及Clifford乘法都相容：
Proposition 4. 假设记号如上，则
\begin{align*}
\partial_X\left\langle \psi_1,\psi_2 \right\rangle_{\Sigma M}&=\left\langle \nabla_{X}^{\Sigma M}\psi_1,\psi_2 \right\rangle_{\Sigma M}+\left\langle \psi_1,\nabla_X^{\Sigma M}\psi_2 \right\rangle_{\Sigma M},\\
\nabla_{X}^{\Sigma M}(Y\cdot\psi)&=(\nabla_XY)\cdot\psi+Y\cdot\nabla_{X}^{\Sigma M}\psi.
\end{align*}
\begin{align*}
\partial_X\left\langle \psi_1,\psi_2 \right\rangle_{\Sigma M}&=\left\langle \nabla_{X}^{\Sigma M}\psi_1,\psi_2 \right\rangle_{\Sigma M}+\left\langle \psi_1,\nabla_X^{\Sigma M}\psi_2 \right\rangle_{\Sigma M},\\
\nabla_{X}^{\Sigma M}(Y\cdot\psi)&=(\nabla_XY)\cdot\psi+Y\cdot\nabla_{X}^{\Sigma M}\psi.
\end{align*}
我们将狄拉克算子定义如下：
Definition 5. 狄拉克算子定义为作用在旋量丛$\Sigma M$截面上的共变微分Clifford乘法的复合，局部地
\[
\not\partial\psi \mathpunct{:}=e_\alpha\cdot\nabla_{e_\alpha}^{\Sigma M}\psi.
\]
\[
\not\partial\psi \mathpunct{:}=e_\alpha\cdot\nabla_{e_\alpha}^{\Sigma M}\psi.
\]
Lemma 6 (狄拉克算子的基本性质). 狄拉克算子是一阶椭圆偏微分算子，它满足以下基本性质：
- 它是弱椭圆的；
- 对紧流形$M$上的$L^2$内积，它是自对偶的；
- 如下的Schr\”odinger–Lichnerowicz公式成立
\[
\not\partial^2=\nabla^*\nabla+\frac{1}{4}R,
\]
其中$\nabla$是$M$上的黎曼联络，$R$是$M$的数量曲率。
References
- , Spectral properties of the Dirac operator and geometrical structures, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001. 116---169. MR1867733