假设 $\Omega\subset\RR^n$ 是一个有界区域. 我们称其为$(A)$-型域, 如果存在常数$A$, 使得 \[ |\Omega\cap B_r(x)|\geq A r^n. \] 定义Campanato空间 $L^{p,\lambda}(\Omega)$ 如下: 对 $1\leq p< +\infty$, $\lambda >0$, 称 $f\in L^p(\Omega)$ 属于 $L^{p,\lambda}(\Omega)$ 如果 \[[f]_{L^{p,\lambda};\Omega}\eqdef\sup_{x\in\Omega, r>0}\dkf{\frac{1}{r^\lambda}\int_{\Omega_r(x)}|f-f_{x,r}|^p}^{1/p}<+\infty, \]
Category: MATH
$\log x\in BMO(\RR^+)$的验证
明显$L^\infty\subset BMO$, 为了说明反之不一定成立, 我们验证$u(x)=\log(x)$, $x\in(0,+\infty)$是属于BMO的. 按照BMO空间的定义, 需要证明 $$ [u]_{x,r}\eqdef\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}|u(y)-u_{x,r}|dy< +\infty,\quad\forall 0 < r < x. $$ 这里$u_{x,r}\eqdef\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}\log ydy$.
$\RR^3$中叉积的矩阵变换公式
假设$\alpha,\beta$是$\RR^3$中两个行向量, $A$是$3\times 3$的可逆矩阵. 则关于叉积, 又如下公式 \[ (\alpha A)\times(\beta A)=(\alpha\times\beta)A^{-T} \det A. \] 其中$A^{-T}$表示逆矩阵的转置.
Holder连续函数的一个简单例子
为了方便理解Holder连续, 我这里举一个例子. Example 1. 令$f(x)=|x|^{\alpha}$, $1>\alpha>0$, 则$\|f\|_{C^\alpha[-1,1]}=1$. 为了直观起见, 函数$f$的图形如下
Hadamard三圆定理
Hadamard三圆定理刻画了复平面上全纯函数在每个圆周上的极大模的对数凸性. 我们称述如下: Theorem 1. 假设$f$是环状区域$\CA\eqdef\set{z\in\CC|0<r_1\leq|z|\leq r_2}$上的全纯函数, 令$M_r\eqdef\max\set{|f(z)|:|z|=r}$, 则$\log M_r$是$\log r$的凸函数. 即, 对$0<r_1\leq r\leq r_2$, \[ \log M_r\leq(1-s)\log M_{r_1}+s\log M_{r_2}, \] 其中$s=\frac{\log r_1-\log r}{\log r_2-\log r_1}$. 且等号成立, 当且仅当$f(z)=c z^\lambda$, 其中$c$, $\lambda$是常数.
标准的椭圆理论:一个能量不等式
Proposition 1. 假设$u$是方程 $$ 0=\Delta u-\frac{1}{2}x\cdot \nabla u. $$ 的光滑解, 则我们有如下的能量不等式: $$\begin{equation} \int_{|x|< r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}|\nabla u|^2\rd x\leq\frac{c}{r^2}\int_{r< |x|< 2r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2\rd x,\quad\forall r >0. \end{equation}$$