Hadamard三圆定理

事实上, 因为$g_\eps$光滑, 只需说明$\Delta g_\eps\geq0$.
\begin{align*}
\frac{1}{4}\Delta g_\eps&=\ppt{z}\ppt{\bar z}g_\eps\\
&=\ppt{z}\dkf{\frac{1}{2}\frac{f\overline{\pt f}}{|f|^2+\eps}}\\
&=\frac{1}{2}\frac{\eps|\pt f|^2}{\xkf{|f|^2+\eps}^2}\geq0.
\end{align*}
特别地, 若$f(z)=z$, 则在$z\neq0$的地方, 对任意的$\alpha\in\RR$, 有$\alpha\log|z|=\frac{\alpha}{2}\log|z|^2$是调和函数. 因此
\[
h_\eps(z)\eqdef \alpha\log|z|+g_\eps(z)=\alpha\log|z|+\frac{1}{2}\log(|f(z)|^2+\eps),
\]
在$\CA$上是次调和函数, 由次调和函数的(弱)极大值原理知
\[
\alpha\log|z|+g_\eps(z)\leq\max\bigg\{\alpha\log r_1+\max_{|z|=r_1}g_\eps(z),\alpha\log r_2+\max_{|z|=r_2}g_\eps(z)\bigg\},\quad\forall z\in\CA.
\]
由于$g_\eps$关于$\eps$是连续的, 因此, 令$\eps\to0$, 得到
\[
\alpha\log|z|+\log|f(z)|\leq\max\bigg\{\alpha\log r_1+\log M_{r_1},\alpha\log r_2+\log M_{r_2}\bigg\},\quad\forall z\in\CA.
\]
特别地, 取$\alpha$使得RHS相等, 即
\[
\alpha=\frac{\log M_{r_2}-\log M_{r_1}}{\log r_1-\log r_2}.
\]
则上式变为
\[
\log M_r\leq\alpha\log (r_1/r)+\log M_{r_1},
\]
代入$\alpha$即得要证的不等式.