假设$\alpha,\beta$是$\RR^3$中两个行向量, $A$是$3\times 3$的可逆矩阵. 则关于叉积, 又如下公式
\[
(\alpha A)\times(\beta A)=(\alpha\times\beta)A^{-T} \det A.
\]
其中$A^{-T}$表示逆矩阵的转置.
Proof . 事实上, 假设$e_i$, $i=1,2,3$是$\RR^3$的标准基, 则
\begin{align*}
[(\alpha A)\times(\beta A)].e_i&=\det\begin{pmatrix}
\alpha A\\
\beta A\\
e_i
\end{pmatrix}=\det A\det \begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta\\
e_i A^{-1}
\end{pmatrix}\\
&=\det A[(\alpha\times\beta).e_i(A^{-1})]\\
&=\det A(\alpha\times\beta)[e_i(A^{-1})]^T\\
&=\det A(\alpha\times\beta) A^{-T}e_i^T\\
&=\det A[(\alpha\times\beta)A^{-T}].e_i
\end{align*}
由此可见结论成立.
\begin{align*}
[(\alpha A)\times(\beta A)].e_i&=\det\begin{pmatrix}
\alpha A\\
\beta A\\
e_i
\end{pmatrix}=\det A\det \begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta\\
e_i A^{-1}
\end{pmatrix}\\
&=\det A[(\alpha\times\beta).e_i(A^{-1})]\\
&=\det A(\alpha\times\beta)[e_i(A^{-1})]^T\\
&=\det A(\alpha\times\beta) A^{-T}e_i^T\\
&=\det A[(\alpha\times\beta)A^{-T}].e_i
\end{align*}
由此可见结论成立.