Author Van Abel Posted on May 28, 2018Categories MATHTags ,   Leave a comment on 函数的球对称化的一个例子

函数的球对称化的一个例子

假设$u(x)$是$\mathbb{R}^n$上一个(实/复)函数, 定义$u$的上水平集为 $$ \mu(t)=|\{x\in\mathbb{R}^m:u(x)>t\}|. $$ 又定义$u$的球对称重排(spherically symmetric rearrangement)为 $$ u^*(x)=\sup\{t:\mu(t)>|B_{|x|}|\} $$ 其中$B_{|x|}$表示$\mathbb{R}^m$中半径为$|x|$的球。 Example 1. 假设$u(x)=4-(x-7)^2$, $x\in\mathbb{R}^1$, 则$u^*(x)=4-x^2$.

Author Van Abel Posted on May 25, 2018Categories MATHTags , , ,   Leave a comment on Gamma函数与Sobolev嵌入定理

Gamma函数与Sobolev嵌入定理

回忆, Gamma函数的定义 $$ \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt,\quad z\in\mathbb{R}^2\setminus\left(\mathbb{Z}_-\bigcup\{0\}\right). $$ 容易验证如下基本性质, 对$z>0$, 我们有 $$ \Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}dt =-\int_0^\infty t^zd e^{-t} =-t^ze^{-t}|_0^\infty+z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt=z\Gamma(z). $$ 容易验证对$\Re(z)>0$有Cauchy–Riemann 方程成立, 故由