Author Van Abel Posted on May 24, 2021Categories MATH   Leave a comment on 极小曲面的分枝点(branched point)

极小曲面的分枝点(branched point)

极小曲面的分枝点定义为曲面在这样的点处不能用一对一的方式参数化. 从而在分枝点, 曲面并不是通常定义下的几何曲面, 因为通常我们要求在任意一点的邻域内, 看起来像一个完全的圆盘. 带有分枝点的极小曲面是在研究极小曲面的理论时必须考虑的对象, 因为一列没有分枝点的曲面的极限很可能有分枝点, 而这种极小化序列的方法是寻求极小曲面的基本方法之一. 事实上, 关于分枝点的出现, 可以用数学公式完全刻画. 因此我们可以作带有分枝点的曲面的图, 而且保证任何分枝点看起来都和这些图形之一相同. 这些图形被两个整数完全刻画: 阶(order)以及指数(index). 分枝点可以分为内部分枝点和边界分枝点. 我们首先来看边界分枝点的图像

Author Van Abel Posted on September 17, 2020Categories MATHTags ,   Leave a comment on 谱几何简介

谱几何简介

谱几何是研究流形的几何结构和流形上典则的微分算子(主要是Laplace–Beltrami算子)的谱之间的关系. 它主要分成两个研究部分:直接问题以及反问题. 反问题研究的是能否从Laplace算子的特征值(即谱)来确定流形的几何特征. 这方面最早的结果是Weyl的渐近公式, 它说明欧氏空间中有界区域的体积可以被该区域上Laplace方程的Dirichlet边值问题的谱的渐近行为确定. 通常这一问题被称为“听鼓辨形”[6](PDF). 关于Weyl渐近公式的一个改进是由Minakshisundaram以及Pleijel(Wang zuoqin给出了一个热核证明, 参考Grieser的Notes on heat kernel asymptotics)得到的. 由该公式可以构造关于曲率张量及其高阶导数的局部谱不变量, 它们可以用来建立一类特殊流形的谱刚性结果. 尽管如此, Milnor[7]的研究表明, 存在等谱却不等距的流形. 因此谱不能在等距意义下完全确定流形. 关于Milnor的等谱流形的研究, Sunada[8]给出了一个具体的办法来构造等谱流形. 直接问题研究的是从流形的几何结构得到流形的谱的行为. 这方面经典的结果是Cheeger得到的Cheeger不等式[3], 它给出了流形的第一特征值于等周常数之间的关系. 自此以后, 这方面有很多研究, 例如Brooks[1]和Buser[2]的结果. 假设$D\subset \mathbb{R}^2$是一个平面有界区域, 其边界是由逐段光滑曲线构成的, 假设$D$关于Dirichlet或者Neumann边界问题(Laplace算子)的特征根记为$\mu_1^2\leq\mu_2^2\leq\cdots$, 为了研究$\mu_n$当$n\to\infty$时的渐近行为, 考虑特征值计数函数$\mathcal{N}_D(\mu)={}^\#\left\{ n : \mu_n<\mu \right\}$. 则平面Weyl渐近公式[9, 5]可表示为 $$ \mathcal{N}_D(\mu)=\frac{\mathrm{Area}(D)}{4\pi}\mu^2\pm\frac{\mathrm{Length}(\partial D)}{4\pi}\mu+o(\mu). $$ 其中, Dirichlet边界取$-$号, 而Neumann边界取$+$号. 最近wang zuoqin[4]等改进了余项的估计. References R. Brooks, The spectral geometry of a tower of coverings, J. Differential Geom. 23(1986), no. 1, 97—107. MR840402P. Buser, A note on the isoperimetric constant, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) … Continue reading “谱几何简介”

Author Van Abel Posted on February 11, 2020Categories MATH   Leave a comment on 自旋几何简介

自旋几何简介

自旋几何简介 Van Abel 02/11/2020 \begin{document} Abstract. 我们简单的介绍自旋几何里基本的概念，可以参考[1]。 Definition 1 (自旋结构). 假设$(M^m,h)$是一个可定向黎曼流形。 $M$上的一个自旋结构是一个二元对$(\mathrm{Spin}(M),\eta)$，其中$\mathrm{Spin}(M)$是$M$上一个$\mathrm{Spin}_m$-主丛，而$\eta$是一个2重覆盖使得下图交换 \[ \begin{CD} \mathrm{Spin}(M)\times \mathrm{Spin}_m@>\rho_1>> \mathrm{Spin}(M)@>\pi>> M\\ @VV \eta\times \mathrm{Ad}V@VV\eta V@|\\ \mathrm{SO}(M)\times \mathrm{SO}_m@>\rho_2>> \mathrm{SO}(M)@>>\pi>M, \end{CD} \] 其中$\rho_1$, $\rho_2$分别是自旋群$\mathrm{Spin}_m$和$\mathrm{SO}_m$作用在主丛$\mathrm{Spin}(M)$和$\mathrm{SO}(M)$上。 $M$上自旋结构的存在性等价于$M$的第二Stiefel-Whitney类$\omega_2(M)=0$，这是一个拓扑限制。 References O. Hijazi, Spectral properties of the Dirac operator and geometrical structures, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001. 116—169. MR1867733

Author Van Abel Posted on March 29, 2019Categories MATHTags , ,   Leave a comment on $\alpha$-调和映照流的初边值问题之存在性

$\alpha$-调和映照流的初边值问题之存在性

我们首先来看$\alpha$调和映照流, 其方程可以写作 $$\left\{\begin{aligned} \partial_t u^\beta-\Delta u^\beta-(\alpha-1) \frac{u_{kl}^{\beta\gamma}u_k^\gamma u_l^\beta}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}&=\Gamma^\beta(u)(\nabla u,\nabla u),\quad x\in M;\\ u(\cdot,0)&=u_0\in C^\infty(M), \quad x\in M;\\ u^n(x,t)&=0, \quad (x,t)\in\partial M\times[0,T];\\ \frac{\partial u^\beta}{\partial\nu}&=0,\quad (x,t)\in \partial M\times [0,T],\quad \beta=1,2,\ldots, n-1. \end{aligned}\right.$$ 我们将考虑其线性形式, 即 $$ \partial_t u^\beta-\Delta u^\beta-(\alpha-1) \frac{u_{kl}^{\beta\gamma}w_k^\gamma w_l^\beta}{1+\lvert \nabla w \rvert^2}=\Gamma^\beta(w)(\nabla w,\nabla w),\quad x\in M. $$ 改写成标准的形式 $$ \mathcal{L}u=f, $$

Author Van Abel Posted on March 1, 2019Categories MATHTags   Leave a comment on α杨米尔斯-希格斯场方程的基本计算

α杨米尔斯-希格斯场方程的基本计算

回忆, $\alpha$-杨米尔斯–希格斯场的方程为方程组 $$ \Delta a_j^\beta=2\left( -a_i^\gamma \partial_ia_j^\delta g_{\gamma\delta}^\beta+\Upsilon h_{ab}(u)u_{|j}^a\lambda_\beta^b(u)+F_{ij}^\gamma a_i^\delta g_{\beta\delta}^\gamma \right), $$ 与 $$ \mathrm{div}(\Upsilon h_{ab}u_{|i}^a)=\Upsilon h_{ad}(u)u_{|i}^a\left( \Gamma_{bc}^d(u)\partial_iu^c+A_{bi}^d(u) \right)+\mu(u)\cdot\left[ \nabla_{\partial_{f^b}}\mu \right](u), $$ 其中$\Upsilon=\alpha(1+\lvert \nabla_Au \rvert^2)^{\alpha-1}=\alpha\left(1+h_{ab}(u)(\partial_iu^a+a_i^\beta\lambda_\beta^a(u))(\partial_iu^b+a_i^\gamma\lambda_\gamma^b(u))\right)^{\alpha-1}$, $u_{|i}^a=\partial_iu^a+a_i^\beta \lambda_\beta^a(u)$, $F_{ij}^\gamma=(\partial_ia_j^\gamma-\partial_ja_i^\gamma)+2a_i^\beta a_j^\delta g_{\beta\delta}^\gamma$, $A_{bi}^d(u)=a_i^\beta\left(\partial_{f^b}\lambda_\beta^d(u)+\lambda_\beta^c(u)\Gamma_{bc}^d(u)\right)$, 而$h$, $\Gamma$, $\lambda$, $\mu$ 是 $u$的光滑函数. 按照定义 $[v_\beta,v_\gamma]=g_{\beta\gamma}^\delta v_\delta$, $\left\{ g_{\beta\gamma}^\delta \right\}$ 称为李代数的结构常数.