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该读书笔记来自Topology and Groups. 1. 复叠映射的两个例子 Example 1. 假设$S=\mathbb{C}\setminus\left\{ 0 \right\}$, 考察连线映射$p: S\to S$, $p(z)=z^2$. 它是一个$2$重满射, 而且局部上有逆映射. 事实上, 如果我们割掉半直线$B^-:=\left\{ z\in S:\mathrm{Im}(z)=0, \mathrm{Re}(z)<0 \right\}$, 则可定义 \[ q_{\pm}: \mathbb{C}\setminus B^-\to \mathbb{C}\setminus\left\{ 0 \right\}, \] 使得$p(q_{\pm}(z))=z$. 这里, $q_{-}=-q_{+}$. 完全类似地, 我们也可以割掉$B^+:=\left\{ z\in S:\mathrm{Im}(z)=0, \mathrm{Re}(z)>0 \right\}$, 进而得到两个映射 \[ \bar{q}_{\pm}: \mathbb{C}\setminus B^+\to \mathbb{C}\setminus\left\{ 0 \right\}, \] 使得$p(\bar{q}_{\pm}(z))=z$.