谱几何是研究流形的几何结构和流形上典则的微分算子(主要是Laplace–Beltrami算子)的谱之间的关系. 它主要分成两个研究部分:直接问题以及反问题.
反问题研究的是能否从Laplace算子的特征值(即谱)来确定流形的几何特征. 这方面最早的结果是Weyl的渐近公式, 它说明欧氏空间中有界区域的体积可以被该区域上Laplace方程的Dirichlet边值问题的谱的渐近行为确定. 通常这一问题被称为“听鼓辨形”[6](PDF). 关于Weyl渐近公式的一个改进是由Minakshisundaram以及Pleijel(Wang zuoqin给出了一个热核证明, 参考Grieser的Notes on heat kernel asymptotics)得到的. 由该公式可以构造关于曲率张量及其高阶导数的局部谱不变量, 它们可以用来建立一类特殊流形的谱刚性结果. 尽管如此, Milnor[7]的研究表明, 存在等谱却不等距的流形. 因此谱不能在等距意义下完全确定流形. 关于Milnor的等谱流形的研究, Sunada[8]给出了一个具体的办法来构造等谱流形.
直接问题研究的是从流形的几何结构得到流形的谱的行为. 这方面经典的结果是Cheeger得到的Cheeger不等式[3], 它给出了流形的第一特征值于等周常数之间的关系. 自此以后, 这方面有很多研究, 例如Brooks[1]和Buser[2]的结果.
假设$D\subset \mathbb{R}^2$是一个平面有界区域, 其边界是由逐段光滑曲线构成的, 假设$D$关于Dirichlet或者Neumann边界问题(Laplace算子)的特征根记为$\mu_1^2\leq\mu_2^2\leq\cdots$, 为了研究$\mu_n$当$n\to\infty$时的渐近行为, 考虑特征值计数函数$\mathcal{N}_D(\mu)={}^\#\left\{ n : \mu_n<\mu \right\}$. 则平面Weyl渐近公式[9, 5]可表示为 $$ \mathcal{N}_D(\mu)=\frac{\mathrm{Area}(D)}{4\pi}\mu^2\pm\frac{\mathrm{Length}(\partial D)}{4\pi}\mu+o(\mu). $$ 其中, Dirichlet边界取$-$号, 而Neumann边界取$+$号. 最近wang zuoqin[4]等改进了余项的估计.
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- , An improved remainder estimate in the Weyl formula for the planar disk, J. Fourier Anal. Appl. 25(2019), no. 4, 1553---1579. MR3977127
- , 100 years of Weyl s law, Bull. Math. Sci. 6(2016), no. 3, 379---452. MR3556544
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- , Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 51(1964), 542. MR162204
- , Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. of Math. (2) 121(1985), no. 1, 169---186. MR782558
- , Uber die Randwertaufgabe der Strahlungstheorie und asymptotische Spektralgesetze, J. Reine Angew. Math. 143(1913), 177---202. MR1580880