Abstract. 这是学习黎曼几何的一些思考题, 主要参考书目为伍鸿熙等编著的《黎曼几何初步》. 题目来源于李光汉在天元西南数学中心2021青年教师暑期学校的讲义.
1. 微分流形、联络与曲率
- 假设$(M^n,g)$是可定向黎曼流形, $X\in\mathfrak{X}(M)$, $(U;x^i)$是定向相符的局部坐标系, 令
\[
\omega=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}\sqrt{g}X^idx^1\wedge\cdots\wedge \widehat{dx^I}\wedge\cdots\wedge dx^n,
\]
其中$g=\det(g_{ij})$, $X=X^i\frac{\partial}{\partial x^i}$. 证明:- $\omega$是$M$上整体定义的$(n-1)$次外微分形式;
- $i_XdV_M=\omega$, 其中$i_X$为内乘, 定义为对任意的$n$次外微分式$\phi$, 以及任意的$X_1,\ldots,x_{n-1}\in\mathfrak{X}(M)$, 有
\[
i_X\phi(X_1,\ldots,X_{n-1})=\phi(X,X_1,\ldots,X_{n-1}).
\]
- 假设$M$是嵌入到$\mathbb{R}^{n+1}$中的超曲面, $\{X^A\}$是$\mathbb{R}^{n+1}$中的直角坐标系, 对任意的$P\in M$, 存在$P$的开领域$U$, 使得$M\cap U$有表示$X^A=f^A(u^1,\ldots, u^n)$, $1\leq A\leq n+1$, $(u^1,\ldots,u^n)\in D\subset\mathbb{R}^{n}$, 其中$D$为$\mathbb{R}^n$中的开集.
- 证明: $M$上单位法向量$\xi=\xi^A\frac{\partial}{\partial x^A}$的分量$\xi^A=\frac{w^A}{w}$, 其中
\[
w^A=(-1)^{A+1}\frac{\partial(f^1,\ldots,\hat{f^A},\ldots,f^{n+1})}{\partial(u^1,\ldots,u^n)},\quad
w=\left(\sum_{A=1}^{n+1}(w^A)^2\right)^{1/2};
\] - 求$\mathbb{R}^{n+1}$在$M$上的诱导度量$g=g_{ij}du^i\otimes du^j$, 且证明
\[
g=\det(g_{ij})=w^2.
\] - 证明: $dV_M=i_\xi(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n+1})|_M$.
- 证明: $M$上单位法向量$\xi=\xi^A\frac{\partial}{\partial x^A}$的分量$\xi^A=\frac{w^A}{w}$, 其中
- 假设$(M_1,g_1)$, $(M_2,g_2)$是两个黎曼流形, 令$M=M_1\times M_2$, 对任意的$(x,y)\in M$, 设$\pi_i:M\to M_i$, $i=1,2$, 为自然投影, 定义映射$\alpha_i: M_i\to M$, 使得对任意的$z\in M_1$, 有$\alpha_1(z)=(z,y)$; 以及对任意的$z\in M_2$, 有$\alpha_2(z)=(x,z)$. 显然有$\pi_i\circ\alpha_i=id_{M_i}: M_i\to M_i$, 以及$M_(x,y)=(\alpha_1)_{*,x}M_{1,x}\oplus(\alpha_2)_{*,y}M_{2,y}=M_{1,x}\oplus M_{2,y}$.
- 证明$M$上具有乘积度量$g=g_1\times g_2$, 其定义为
\[
g\left((\alpha_1)_*X_1+(\alpha_2)_*Y_1,(\alpha_1)_*X_2+(\alpha_2)_*Y_2\right)=g_1(X_1,X_2)+g_2(Y_1,Y_2),
\]
其中$X_1,X_2\in M_{1,x}$, $Y_1,Y_2\in M_{2,y}$; - 若$(U;x^i)$, $(V;y^\alpha)$分别是$M_1$与$M_2$的局部坐标系, ${}^1D$, ${}^2D$分别是$M_1$, $M_2$的黎曼联络, 对应的Christoffel符号分别记为${}^1\Gamma_{ij}^k$, ${}^2\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma$. $M$上的黎曼联络与Christoffel符号分别记为$D$与$\Gamma_{AB}^C$, 则
\[
\begin{cases}
D_{\frac{\partial}{\partial x^i}}\frac{\partial}{\partial x^j}=\left({}^1\Gamma_{ji}^k\circ \pi_1\right)\frac{\partial}{\partial x^k},\\
D_{\frac{\partial}{\partial y^\alpha}}\frac{\partial}{\partial y^\beta}=\left({}^1\Gamma_{\beta\alpha}^\gamma\circ \pi_2\right)\frac{\partial}{\partial y^\gamma},
\end{cases}\quad
\begin{cases}
D_{\frac{\partial}{\partial y^\alpha}}\frac{\partial}{\partial x^i}=0,\\
D_{\frac{\partial}{\partial x^i}}\frac{\partial}{\partial y^\alpha}=0.
\end{cases}\]
- 证明$M$上具有乘积度量$g=g_1\times g_2$, 其定义为
- 假设$M$是$n$为光滑流形, $g$与$\tilde g$都是$M$上的光滑黎曼度量, $\lambda\in C^\infty(M)$, 且$\tilde g=\lambda^2g$, $\lambda>0$. $\tilde g$称为$g$的共形度量. 假设$(U;x^i)$是$M$的局部坐标系.
- 若$\Gamma_{ij}^k$与$\tilde{\Gamma}_{ij}^k$分别是$g$与$\tilde{g}$的Christoffel符号, 则
\[
\tilde{\Gamma}_{ij}^k=\Gamma_{ij}^k+\delta_{i}^k\partial_j(\ln\lambda)+\delta_{j}^k\partial_i(\ln\lambda)-g_{ij}g^{kl}\partial_l(\ln\lambda).
\]
特别地, 当$\lambda=e^\rho$, $\rho\in C^\infty(M)$时,
\[
\tilde{\Gamma}_{ij}^k=\Gamma_{ij}^k+\delta_{i}^k\partial_j\rho+\delta_{j}^k\partial_i\rho-g_{ij}g^{kl}\partial_l\rho.
\] - 假设$\Delta_g$与$\Delta_{\tilde{g}}$分别是$g$与$\tilde{g}$的Beltrami–Laplace算子, 证明:
\[
\Delta_{\tilde{g}}f=\lambda^{-2}\left( \Delta_{g}f+n-2g(\nabla(\ln\lambda),\nabla f) \right),
\]
其中$f\in C^\infty(M)$为任意光滑函数.
- 若$\Gamma_{ij}^k$与$\tilde{\Gamma}_{ij}^k$分别是$g$与$\tilde{g}$的Christoffel符号, 则
- 在三维球面$S^3$上定义幺正标架$\vec i,\vec j,\vec j$, 使得
\[
[\vec i,\vec j]=\vec k,\quad[\vec j,\vec k]=\vec i,\quad [\vec k,\vec i]=\vec j.
\]
求$S^3$在该幺正标架场下的联络系数. - 假设$(M,g)$为黎曼流形, 若对任意的$x,y\in M$, $M$中从$x$到$y$的平行移动与连接$x$到$y$的曲线段无关, 则$M$的曲率张量恒为零.
- 假设$(M,g)$是$n(\geq3)$维连通黎曼流形, 若对任意的$X,Y,Z,W\in \mathfrak{X}$满足恒等式:
\[
R(X,Y,Z,W)=\frac{1}{n}\left\{ \mathrm{Ric}(X,W)g(Y,Z)-\mathrm{Ric}(X,Z)g(Y,W) \right\},
\]
证明$(M,g)$是常曲率空间. - 假设$(M,g)$是$n(\geq3)$维连通黎曼流形, 且有$\lambda\in C^\infty(M)$, 使得$\mathrm{Ric}=\lambda g$, 证明
- $M$是Einstein流形, 即$M$的数量曲率为常数;
- 当$n=3$时, $M$是常曲率空间;
- 若$M$的数量曲率$S\neq0$, 则$M$上不存在非零平行向量场.
- 假设$(M,g)$是黎曼流形, 在$M_x\times M_x$上定义
\[
Q(X\wedge Y,Z\wedge W)=R(X,Y,Z,W).
\]- 证明$Q$是对称的;
- 若$Q$在每一点$x\in M$正定(负定), 则$M$有负(正)的截面曲率;
- 若$M$有负(正)的截面曲率, $Q$是否正(负定).
- 如果$(M_1,g_1)$与$(M_2,g_2)$均是常曲率空间, 则$M_1\times M_2$在度量$g=g_1+g_2$下是常曲率空间吗?