- 右分配律: $(x+y)z=xz+yz$;
- 左分配律：$z(x+y)=zx+zy$;
- 数乘相容性：$(ax)(by)=(ab)(xy)$.
- 我们没有要求$\tau$满足结合性：即$(xy)z=x(yz)$不一定成立。满足结合性的代数也称为结合代数。例如全体$n$阶方阵构成一个结合代数。非结合代数的例子是：$\mathbb{R}^3$中向量的叉积。
- 若代数$(V,\tau)$含有恒等元素$e\in V$, 即$ex=xe=x$对任意的$x\in V$都成立, 的代数称为酉代数（unitary algebra).
- 当乘法运算$\tau$交换时，左分配律和右分配律是等价的，从而在定义中只需要求一条满足即可。得到的代数通常称为交换代数。
- 若将数域$K$换成交换酉环$R$，则在上述定义中只需将向量空间$V$换成$R$-模即可得到更广的交换代数的定义。
下面，我们来看代数的同态(homomorphism)。
称两个$K$-代数是同构的，若存在它们之间的一个双射$f$, 使得$f,f^{-1}$都是代数之间的同态。
下面，我们来看子代数(subalgebra)与理想(ideal)。
换言之，一个子代数$(V’,\tau’)\subset (V,\tau)$是一个非空集合，满足它在加法、数乘以及乘法运算下封闭。
- 加法封闭性：$x’+y’\in I$;
- 数乘封闭性：$cx’\in I$;
- 乘法对$V$封闭性：$zx’\in I$以及$x’z\in I$.
注意，上述定义中前两条说明理想$I$是一个线性子空间。而第三条说明理想是一个子代数。同时，注意环的理想不要求第二条，和代数的理想是不一样的。
利用同态基本定理， 我们可以得到一个代数商掉理想构成一个新的代数，称为商代数。
最后，我们给出用数域$K$上的环$(V,\tau)$来构造数域$K$上结合酉代数的方法。考察环同态$\eta:K\to Z(V)$，其中$Z(V)$是环$(V,\tau)$的中心。若$(V,\tau)$不是零环, 则$\eta$是单射。这样，我们可以定义数乘
\[
K\times V\to V,\quad (k,x)\mapsto \eta(k)x.
\]
这样，环$(V,\tau)$成为一个$K$-代数, 而且含有恒等元$\eta(1)\in V$, 即还是一个酉代数。
如此构造的$K$-代数之间的同态$f:V_1\to V_2$就是满足$f(kx)=kf(x)$的环同态。
2. Clifford代数
给定实数域$\mathbb{R}$上的线性空间$V$, 其张量代数记为$T(V)=\oplus_{k\geq0}\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_k$. 若$V$上有非退化的二次型$\langle \cdot,\cdot \rangle$, 则可考察所有形如$\alpha(v):=v\otimes v+\langle v,v \rangle$, $v\in V$, 生成的理想$I(V)$。$(V,\langle \cdot,\cdot \rangle)$上的Clliford代数定义为
\[
\mathrm{Cl}(V):=T(V)/I(V).
\]
容易验证：若$v,w\in V$, 则
\[
I(V)\ni(v+w)\otimes(v+w)+\langle v+w,v+w \rangle
=v\otimes w+w\otimes v+v\otimes v+w\otimes w+\langle v,v \rangle+\langle w,w \rangle+2\langle v,w \rangle,
\]
因为$v\otimes v+\langle v,v \rangle\in I(V)$以及$w\otimes w+\langle w,w \rangle\in I(V)$, 我们得到
\[
v\otimes w+w\otimes v+2\langle v,w \rangle\in I(V).
\]
从而若$\bar{v},\bar{w}\in \mathrm{Cl}(V)$，则
\[
\bar{v}+\bar{w}=v+w+I(V),
\]
以及
\[
\bar{v}\cdot\bar{w}+\bar{w}\cdot\bar{v}
=v\otimes w+w\otimes v+I(V)=-2\langle v,w \rangle+I(V)=-2\overline{\langle v,w \rangle}.
\]
为了方便，我们不用加靶来区分代表元。将上述等式表示为
\[
v\cdot w+w\cdot v=-2\langle v,w \rangle.
\]
从而，若选取$\left\{ e_i \right\}_{i=1}^n$为$(V,\langle \cdot,\cdot \rangle)$的标准正交基底。则
\[
e_i\cdot e_i=-\langle e_i,e_i \rangle=-1,\quad
e_i\cdot e_j=-e_j\cdot e_i.
\]
由此，容易得到$\mathrm{Cl}(V)$作为一个线性空间，其基底由
\[
e_0:=1,\quad e_\alpha:=e_{\alpha_1}\cdot e_{\alpha_2}\cdots e_{\alpha_k}
\]
给出，其中$\alpha=\left\{ \alpha_1,\ldots,\alpha_k \right\}\subset \left\{ 1,2,\ldots,n \right\}$, 且$\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_k$. 对这样的$\alpha$, 我们令$\lvert \alpha \rvert:=k$，称为$e_\alpha$的度。特别地，$\mathrm{Cl}(V)$作为线性空间和外代数$\Lambda^*(V)$同构，其维数为$2^n$. 而且，通过定义这些基底为标准正交基底，我们将$V$的内积，扩充到$\mathrm{Cl}(V)$.
若将所有度为$k$的元素生成的线性子空间记作$\mathrm{Cl}^k(V)$, 则容易验证：
- $\mathrm{Cl}^0(V)=\mathbb{R}$;
- $\mathrm{Cl}^1(V)=V$;
- $\mathrm{Cl}^{\mathrm{ev}}(V)$，即全体偶数度元素生成的线性子空间，是$\mathrm{Cl}(V)$的一个子代数。
\[
[a,b]=a\cdot b-b\cdot a,\quad a,b\in \mathrm{Cl}^2(V)
\]
给出。事实上，由于括号积以及Clifford乘法的线性性，只需对基底证明即可。假设$a=e_i\cdot e_j$, $b=e_k\cdot e_l$是$\mathrm{Cl}^2(V)$中两个元素，则(不妨假设$i,j,k,l$互不相同，其他情形类似）
\[
a\cdot b-b\cdot a=e_i\cdot e_j\cdot e_k\cdot e_l-e_k\cdot e_l\cdot e_i\cdot e_j
=e_i\cdot e_k\cdot e_l\cdot e_j-e_k\cdot e_l\cdot e_i\cdot e_j
=e_k\cdot e_l\cdot e_i\cdot e_j-e_k\cdot e_l\cdot e_i\cdot e_j
=0.
\]
事实上，更进一步地，李括号可以定义$\mathrm{Cl}^2(V)$在$\mathrm{Cl}^1(V)$上的一个作用$\tau$:
\[
\tau(a)v:=[a,v]=a\cdot v-v\cdot a.
\]
可以证明若$a\in \mathrm{Cl}^2(V)$, $v\in \mathrm{Cl}^1(V)$, 则$[a,v]\in \mathrm{Cl}^1(V)$. 我们仍然只验证两个典型情形：$a=e_i\cdot e_j$, $v=e_k$, 则
\[
[a,v]=e_i\cdot e_j\cdot e_k-e_k\cdot e_i\cdot e_j=0\in \mathrm{Cl}^1(V);
\]
若$v=e_j$, 则
\[
[a,v]=e_i\cdot e_j\cdot e_j-e_j\cdot e_i\cdot e_j=-e_i-e_i=-2e_i\in \mathrm{Cl}^1(V).
\]
\[
\tau[a,b](v)=[[a,b],v]=-[[b,v],a]-[[v,a],b]=[a,[b,v]]-[b,[a,v]],\quad
[\tau(a),\tau(b)](v)=\tau(a)\tau(b)(v)-\tau(b)\tau(a)(v)=[a,[b,v]]-[b,[a,v]],
\]
故
\[
\tau[a,b]=[\tau(a),\tau(b)].
\]
即$\tau$保持李代数之间的乘积，是李代数$\mathfrak{spin}(V)$到$\mathfrak{gl}(V)$之间的同态。下面，我们来验证$\tau(a)\in \mathfrak{so}(V)$对任意的$a\in \mathrm{Cl}^2(V)$成立。
事实上， 由于$\mathfrak{so}(V)$的李代数为$\mathfrak{gl}(V)$中的反对称矩阵，满足
\[
\langle \tau(a)v,w \rangle+\langle v,\tau(a)w \rangle=0.
\]
上述等式可以直接验证如下：
\begin{align*}
\langle \tau(a)v,w \rangle+\langle v,\tau(a)w \rangle
&=\langle [a,v],w \rangle+\langle v,[a,w] \rangle\\
&=-\frac{1}{2}\left( [a,v]\cdot w+w\cdot[a,v]+v\cdot[a,w]+[a,w]\cdot v \right)\\
&=-\frac{1}{2}\big( a\cdot v\cdot w-v\cdot a\cdot w+w\cdot a\cdot v-w\cdot v\cdot a\\
&\qquad+v\cdot a\cdot w-v\cdot w\cdot a+a\cdot w\cdot v-w\cdot a\cdot v \big)\\
&= a\cdot\langle v,w \rangle-\langle v,w\rangle\cdot a=0.
\end{align*}
最后，由于$\tau: \mathfrak{spin}(V)\to \mathfrak{gl}(V)$是李代数的同态，我们知道
\[
\ker\tau=\left\{ a\in \mathfrak{spin}(V)=\mathrm{Cl}^2(V):\tau(a)=0\in \mathfrak{gl}(V) \right\}
\]
是李代数$\mathfrak{spin}(V)$的一个理想。而且
\[
0=\tau(a)v:=[a,v]=a \cdot v-v\cdot a,
\]
令$a=a_0+a_ie_i+a_{ij}e_i\cdot e_j$, 则当$v=e_k\in \mathrm{Cl}^1(V)$时，
\[
a\cdot v=v\cdot a\iff a_0 e_k+a_i e_i\cdot e_k+a_{ij}e_{i}\cdot e_j\cdot e_k=a_0e_k+a_ie_k\cdot e_i+a_{ij}e_k\cdot e_i\cdot e_j.
\]
即
\[
\sum_i a_i (e_i\cdot e_k-e_k\cdot e_i)=0,\quad
\sum_{i,j}a_{ij}(e_i\cdot e_j\cdot e_k-e_k\cdot e_i\cdot e_j)=0.
\]
故当$i\neq k$时，$a_i=0$; $i=k$时，$\sum_j a_{kj}(e_j+e_j)=0$， 故$a_{kj}=0$. 由$k$的任意性，我们得到$a=a_0\in \mathrm{Cl}^0(V)=\mathbb{R}$.