- 设$B(\delta)$是$M$中的开球, $B_\delta=\exp_x(B(\delta)$, $x\in M$, 描述球面S^n(1), 半径为$1$的圆柱面、$\mathbb{R}^n$及球面上接根细管后的曲面的$B_\delta$($\delta>0$). 并描述这些空间的共轭轨迹与割迹.
- 给出一个紧致黎曼流形的例子, 使得某个$x\in M$, $M_x$中的切割迹和第一共轭轨迹均非空, 但它们互不相同.
- 假设$M$是完备黎曼流形, $x\in M$, 且有从$x$出发的射线, 则$M$必须是非紧流形.
- 假设$M$与$\tilde{M}$都是$n$为黎曼流形, $\gamma:[0,b]\to M$与$\tilde{\gamma}:[0,b]\to\tilde{M}$是正规测地线. 令$K(t), \tilde{K}(t)$分别是Rauch比较定理中定义的函数, 且$\tilde{K}(t)\leq K(t)$对任意的$t\in[0,b]$都成立. 证明: 沿测地线$\gamma$的指数不小于沿测地线$\tilde{\gamma}$的指数.
- 假设$M(c)$是$n$维空间形式, 固定$O\in M(c)$, 建立测地极坐标系$(r,\theta)$, 使黎曼度量$g=dr^2+f^2(r)d\sigma^2$, 其中$d\sigma^2$是球面$S^{n-1}$中的标准度量$d\sigma^2=h_{ij}(\theta)d\theta^i\wedge d\theta^j$, $1\leq i, j\leq n-1$. 径向函数
\[
f(r)=
\begin{cases}
\sin(\sqrt{c}r)/\sqrt{c},&c>0,\,r<\pi/\sqrt{c},\\ r,&c=0,\\ \sinh(\sqrt{-c}r)/\sqrt{-c},&c<0. \end{cases} \] 又设$\gamma:[0,b]\to M(c)$是从$O$出发的正规测地线, 其上不含$O$的共轭点; $\left\{ e_1,\ldots, e_{n-1},\gamma'(0) \right\}$是$M_O$的幺正基, 沿着$\gamma(t)$的平行移动得到局部标架场$\left\{ e_1(t),\ldots, e_{n-1}(t),\gamma'(t) \right\}$; 沿着$\gamma(t)$构造$n-1$个正常的相互正交的Jacobi场$J_{i}(t)$, 使得$J_i(0)=0$, $J_i'(0)=e_i$, $i=1,2,\ldots, n-1$.- 证明: $M(c)$的体积元为$f^{n-1}(r)dr\wedge dS^{n-1}$;
- 求$\mathbb{R}^m$与$H^m(-1)$中半径为$R$的测地球的体积.
- 假设$\Delta$与$\tilde{D}$分别是$S^n$和$\mathbb{R}^{n+1}$中关于标准度量的Beltrami--Laplace算子. 若$(x^1,\ldots,x^{n+1})$是$\mathbb{R}^{n+1}$中的直角坐标系, 令$r=\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}(x^i)^2}$, 则$\mathbb{R}^{n+1}$上的光滑函数可以表示为$f=f(x^1,\ldots,x^{n+1})=f(r\cdot\vec p)$, 其中$\vec p\in S^n$. 证明当$r>0$时,
\[
\tilde{\Delta}f=\frac{\partial^2f}{\partial r^2}+\frac{n}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\Delta f,
\]
其中$\Delta f$是把$f=f(r\cdot\vec p)$看作是$\vec p\in S^n$, $r$固定的函数关于$S^n$的Laplace算子.
- 假设$M$是紧致定向黎曼流形, $f\in C^\infty(M)$, 且$f\geq0$, $\Delta f\geq0$ (这样的$f$称为非负次调和函数, 其中$\Delta$是Beltrami–Laplace算子), 则$f$必为常数.
- 假设$(M,g)$是可定向黎曼流形, $\phi,\psi\in A^r(M)$. 证明:
- $\langle \phi,\psi \rangle=\frac{1}{r!}\phi^{i_1\cdots i_r}\psi_{j_1\cdots j_r}$与局部坐标系的选择无关; 从而是大范围定义的运算;
- 星算子$*\phi$与定向相符的局部坐标系选取无关, 也是流形上大范围定义的运算.
- $\langle \phi,\psi \rangle=\frac{1}{r!}\phi^{i_1\cdots i_r}\psi_{j_1\cdots j_r}$与局部坐标系的选择无关; 从而是大范围定义的运算;
- 在黎曼流形$(M,g)$上, $f\in C^\infty(M)$. 求$\Delta(\lvert \nabla f \rvert^2)$, 并证明:
- 若$M$是紧致无边的, $\mathrm{Ric}(M)\geq0$, $\Delta f=\mathrm{const}.$ 则$\nabla f$是平行向量场;
- 若$\mathrm{Ric}(M)\geq0$, $\Delta f=\mathrm{const}.$, $\lvert \nabla f \rvert=\mathrm{const}$.. 则$\nabla f$是平行向量场.
- 若$M$是紧致无边的, $\mathrm{Ric}(M)\geq0$, $\Delta f=\mathrm{const}.$ 则$\nabla f$是平行向量场;
- 如果$M$与$\tilde{M}$是完备黎曼流形, $\pi: \tilde{ M}\to M$是局部等距映射, 又是$k$重覆盖映射. 证明: $V(\tilde{ M})=kV(M)$.