关于黎曼几何的一些思考题

1. 等距、Jacobi场与函数的Laplace

1. 假设$M$与$N$是黎曼流形, $\phi: M\to N$是局部等距映射, 且$N$是完备的. 问:
   
   1. $M$是否也完备?
      
   2. $\phi$是覆盖映射吗?
      
2. 假设$x\in M$, 而且从$x$出发的测地线$\gamma$上所以正常Jacobi场都是几乎平行的, 即存在沿着$\gamma$的平行单位向量场$W(t)$, 使得满足$U(0)=0$的Jacobi场$U(t)=f(t)W(t)$, 其中$f(t)$是定义在$[0,b]$上的光滑函数, $\gamma:[0,b]\to M$是测地线.
   
   1. 令$\tilde{S}$是$M_x$的子空间, 在$x$的一个邻域内, 令$S=\exp_x\tilde{S}$. 证明: 如果$\gamma'(0)\in \tilde{S}$, $\gamma([0,b])\subset S$, 则$P^\gamma$将$\tilde{S}$平行移动到$\gamma(b)$的切空间$S_{\gamma(b)}$;
      
   2. $M_x$中所有截面曲率是常数;
      
   3. 常曲率空间的Jacobi场都是几乎平行的.
      
3. 假设$X,Y$是沿着$\gamma:[0,b]\to M$的Jacobi场, 则有
   \[
   \langle X, D_{\gamma’}Y \rangle-\langle D_{\gamma’}X, Y \rangle=\mathrm{const}.
   \]
4. 假设$(M,g)$是具有常负截面曲率$c$的黎曼流形, $\gamma:[0,l]\to M$是正规测地线, $v\in M_{\gamma(l)}$满足$\langle v,\gamma'(l) \rangle=0$, $\lvert v \rvert=1$. 证明: 沿着$\gamma$满足$J(0)=0$, $J(l)=v$的Jacobi场由下式给出:
   \[
   J(t)=\frac{\sinh(\sqrt{-c}t)}{\sinh(\sqrt{-c}l)}W(t),
   \]
   其中$W(t)$是沿着$\gamma$平行的向量场, 且$W(0)=u_0/u_0$, 这里$u_0=\left\{ (\exp_{\gamma(0)})_{*}l\gamma'(0) \right\}^{-1}(v)$.
5. 假设$(M,g)$是黎曼流形, 给定$O\in M$, $\rho$是相对于$O$的距离函数.
   
   1. $\rho(x)$在$O$附近不是$C^1$的;
      
   2. 若$M$为紧流形, 则$\rho(x)$在$M\setminus\left\{ O \right\}$上也不是$C^1$的.
      
6. 假设$M$是具有正截面曲率的奇数维紧黎曼流形, 则$M$是不可定向流形.
7. 假设$(M,g)$是单连通完备黎曼流形, 对任意的$P\in M$, 若$P$点沿所有从$P$出发的径向测地线的第一共轭点都是同一点$Q$且$Q\neq P$, $d(P,Q)=\pi$. 证明:如果$K_M\leq 1$,则$M$与$S^n$等距.
8. 假设$\gamma:[a,b]\to M$是测地线, 且$\gamma(b)$不是$\gamma(a)$的共轭点, 则对任意的$x\in M_{\gamma(a)}$, $Y\in M_{\gamma(b)}$, 存在唯一沿着$\gamma$的Jacobi场$J(t)$满足$J(a)=X$, $J(b)=Y$.
9. 假设$\gamma:[0,b]\to M$是正规测地线, $\gamma$上无$\gamma(0)$的共轭点. $J(t)$是满足$J(0)=0$, $\lvert J'(0) \rvert=1$的正常Jacobi场, 如果对任意的$v\in M_{\gamma(t)}$, 当$v\perp \gamma'(t)$时, 都有$K(v,\gamma'(t))\leq\beta$, 则
   \[
   J(t)=
   \begin{cases}
   \frac{\sin\sqrt{\beta}t}{\sqrt{\beta}},&\beta>0,\,t<\frac{\pi}{\sqrt{\beta}},\\ t,&\beta=0,\\ \frac{\sinh\sqrt{-\beta}t}{\sqrt{-\beta}},&\beta<0. \end{cases} \]
10. 假设$M$是二维连通黎曼流形, $K$是Gauss曲率, 且$K\leq -c^2<0$. 又设$O\in M$, $\rho$是到$O$的距离函数. 证明: $(\tanh(c\rho/2))^2$是光滑函数, 且$\Delta(\tanh(c\rho/2))^2>0$, 这里假设$c>0$.