关于黎曼几何的一些思考题

1. 完备性、局部对称空间、对称空间、子流形、测地线与Jacobi场

1. 假设$(M,g)$为黎曼流形, 光滑曲线$\gamma:[0,+\infty)\to M$称为发散曲线, 如果对于任意紧致子集$K\subset M$, 必存在$t_0>0$, 使得$\gamma(t_0)\not\in K$, 其长度定义为
   \[
   \lim_{s\to\infty}\int_0^s\lvert \gamma'(t) \rvert dt.
   \]
   证明: $M$是完备的当且仅当$M$上的每一条发散曲线都有无限长度.
   
2. 假设$(M,g)$为黎曼流形, 从$P\in M$出发的弧长参数(正规)测地线$\gamma:[0,+\infty)\to M$称为从$P$出发的射线, 如果$\gamma(0)=P$, 且对任意的$t\in(0,+\infty)$, $\gamma|_{[0,t]}$是连接$P$与$\gamma(t)$的最短曲线, 即$d(P,\gamma(t))=t$. 证明: 如果$M$是完备非紧的, 则对任意的$P\in M$, 在$M$上必存在从$P$出发的射线.
   
3. 假设$(M,g)$是黎曼流形, 且$DR\equiv0$, 这是流形称为是局部对称空间.
   
   1. 假设$\gamma:[0,b]\to M$是测地线, $X,Y,Z$是沿着$\gamma$的平行向量场, 则$R(X,Y)Z$也沿着$\gamma$平行;
      
   2. 如果$M$连通且$\dim M=2$, 则$M$是常曲率空间.
      
4. 假设$M$是黎曼流形, $a: M\to M$是等距, 且存在$P\in M$, 使得$\sigma(P)=P$, $\sigma_{*P}=-\mathrm{id}|_{M_P}$. 又设$\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to M$是过$P$点的测地线, 即$\gamma(0)=P$, $X(t)$是沿着$\gamma(t)$的平行向量场, 则
   \[
   \sigma_{*\gamma(t)}(X|_{\gamma(t)})=-X|_{\gamma(-t)},\quad \forall t\in(-\epsilon,\epsilon).
   \]
   
5. 假设$M=\mathbb{R}_+^2=\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2: y>0 \right\}$. 取度量$g$使得
   \[
   g_{11}=g_{22}=\frac{1}{y^2},\quad g_{12}=0.
   \]
   
   1. 求$\mathbb{R}_+^2$的度量$g$在$(x,y)$下的Christoffel记号;
      
   2. 求$\mathbb{R}_+^2$的测地线;
      
   3. 证明$(M,g)$是完备的;
      
   4. 求$(M,g)$的截面曲率.
      
6. 假设$(M, D)$是仿射联络空间, $\left\{ e_i \right\}$与$\left\{ \omega^i \right\}$分别是互为对偶的局部标架场. 对任意的$\theta\in A^r(M)$, 若$D$是无挠联络, 则
   
   1. $d\theta=\sum_{i=1}^n\omega^i\wedge D_{e_i}\theta$;
      
   2. $d\theta(X_1,\ldots,X_{r+1})=\sum_{r=1}^{n+1}(-1)^{i+1}(D_{X_i}\theta)(X_1,\ldots,\hat{X_i},\ldots,X_{r+1})$, 其中$X_1,\ldots,X_{r+1}\in \mathfrak{X}(M)$.
      
7. 如果对任意的$x\in M$, 都存在等距$\phi: M\to M$, 它是关于$x$点的反射, 即对任意的过$x$的测地线$\gamma$, $\gamma(0)=x$, 在$\gamma(t)$的定义域内, 总有$\gamma(\gamma(t))=\gamma(-t)$. 此时称$M$为对称空间. 证明:
   
   1. $M$是完备的;
      
   2. $M$是齐性的, 即对任意的$x,y\in M$, 存在等距$\varphi: M\to M$, 使得$\varphi(x)=y$;
      
   3. $M$是局部对称空间.
      
8. 假设$M$是$\bar{M}$的子流形, 证明: $M$在$\bar{M}$中是全测地子流形, 当且仅当切丛$TM$关于$\bar{M}$的Levi-Civita联络$\bar{D}$平行, 即任意曲线$\gamma:[0,1]\to M$, 用$P^\gamma$表示$\bar{D}$的平移同构, 有$P^\gamma(M_{\gamma(0)}=M_{\gamma(1)}$.
   
9. 假设$\gamma:[0,+\infty)\to M$是局部对称空间$(M,g)$的测地线, $P=\gamma(0)$, 定义线性映射$K_t: M_{\gamma(t)}\to M_{\gamma(t)}$为
   \[
   K_t(W)=R(W,\gamma'(t))\gamma'(t),\quad \forall W\in M_{\gamma(t)}.
   \]
   证明:
   
   1. $K_t$是自共轭映射, 即$\langle K_t(v_1),v_2 \rangle=\langle v_1,K_t(v_2) \rangle$, 其中$v_1,v_2\in M_{\gamma(t)}$;
      
   2. 取$M_{\gamma(0)}$的幺正基$\left\{ e_i \right\}$使得$K_0$对角化, 即$K_0(e_i)=\lambda_i e_i$, 并把$\left\{ e_i \right\}$沿着$\gamma(t)$平行移动得到$\left\{ e_i(t) \right\}$, 则有
      \[
      K_t(e_i(t))=\lambda_ie_i(t),\quad \forall t\in[0,+\infty).
      \]
      
   3. 假设$J(t)=J^i(t)e_i(t)$, 则$J(t)$是沿着$\gamma(t)$的Jacobi场当且仅当
      \[
      \frac{d^2J^i(t)}{dt^2}+\lambda_iJ^i(t)=0,\quad i=1,\ldots, n;
      \]
      
   4. 点$P=\gamma(0)$沿着$\gamma(t)$的共轭点是$\gamma\left( k\pi/\sqrt{\lambda} \right)$, 其中$k$是正整数, $\lambda$是$K_0$的正特征值.
      
10. 假设$M$是完备的二维黎曼流形, $\gamma:[0,+\infty)\to M$是测地线. $K(t)$是$M$沿着$\gamma(t)$的Gauss曲率, $L(t)$是定义在$[0,+\infty)$上的光滑函数, $t_0\in(0,+\infty)$. 又设
    
    1. 存在正常Jacobi场$J(t)$满足$J(0)=J(t_0)=0$, 但在$(0,t_0)$内部, $J(t)\neq0$;
       
    2. 对任意的$t\in[0,+\infty)$, $K(t)\leq L(t)$.
       
    证明方程
    \[
    \tilde{f}”(t)+L(t)\tilde{f}(t)=0
    \]
    的每个解$\tilde{f}(t)$在$[0,t_0]$上至少有一个零点.