Take notes of Mathematics
数学相关笔记
Author Van Abel Posted on July 7, 2015Categories MATH Leave a comment on Hadamard三圆定理
Hadamard三圆定理刻画了复平面上全纯函数在每个圆周上的极大模的对数凸性. 我们称述如下: Theorem 1. 假设$f$是环状区域$\CA\eqdef\set{z\in\CC|0<r_1\leq|z|\leq r_2}$上的全纯函数, 令$M_r\eqdef\max\set{|f(z)|:|z|=r}$, 则$\log M_r$是$\log r$的凸函数. 即, 对$0<r_1\leq r\leq r_2$, \[ \log M_r\leq(1-s)\log M_{r_1}+s\log M_{r_2}, \] 其中$s=\frac{\log r_1-\log r}{\log r_2-\log r_1}$. 且等号成立, 当且仅当$f(z)=c z^\lambda$, 其中$c$, $\lambda$是常数.
Author Van Abel Posted on March 5, 2014Categories MATH Leave a comment on 标准的椭圆理论:一个能量不等式
Proposition 1. 假设$u$是方程 $$ 0=\Delta u-\frac{1}{2}x\cdot \nabla u. $$ 的光滑解, 则我们有如下的能量不等式: $$\begin{equation} \int_{|x|< r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}|\nabla u|^2\rd x\leq\frac{c}{r^2}\int_{r< |x|< 2r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2\rd x,\quad\forall r >0. \end{equation}$$
Author Van Abel Posted on September 5, 2013Categories MATH Leave a comment on 弱极值原理
$$ 不知为啥, 看书上老觉得没写清楚. 我试举几个地方: 关于取极限, 在假设椭圆算子半正时要用扰动来转化为严格正的情形, 但是最后取极限为什么能够得到结论? 关于$c\geq0$的情形, 很多书上是考虑$\Omega^+=\set{x\in\Omega|u(x)<0}$这样的区域, 在$\Omega^+$上用$c\equiv0$的情况, 但是最后为什么会从$\Omega^+$以及$\partial\Omega^+$转到$\Omega$, $\partial\Omega$上结论成立?
Author Van Abel Posted on July 31, 2013Categories MATH Leave a comment on Clifford代数
$ $ 最近学习X.N. Ma的Index theory, 需要点Clifford代数的知识, 在这里记录下. Clifford代数的历史 200年来，许多人从不同方面研究过Clifford代数和自旋表示，但认识到它们处在整个数学/数学物理的核心则是晚近得多的事。下面是一份(不完备的)历史回顾。 Clifford代数的初略历史回顾 超复数系 Hamilton, Grassmann, Clifford 表示论，Lie群，Bott周期性 E.Cartan, Weyl, Chevalley, Bott Riemann几何 E. Cartan, Berger Dirac算子，量子场论，超对称 Dirac, Atiyah, Singer, Witten
Author Van Abel Posted on July 12, 2013Categories MATH Leave a comment on Hopf引理
$$ Theorem 1. 假设$\Omega\subset\R^n$是一个有界开区域, 且$\pt\Omega$光滑. 又设 $$ L=-a^{ij}(x)D_{ij}+b^i(x)D_i+c(x), $$ 是$\Omega$上的一致椭圆算子($a^{ij}\xi_i\xi_j\geq\theta|\xi|^2$), $a^{ij}=a^{ji}$, $b^i$, $c$在$\bar\Omega$上连续. 假设$u\in C^2(\Omega)\cap C(\bar\Omega)$且$Lu\geq0$在$\Omega$中成立. 若存在半径为$r$的开球$B\subset\Omega$, 以及一点$x_0\in\pt B\cap\pt\Omega$, 使得 $u$在$x_0$处可微, $u(x)>u(x_0),\quad \forall x\in \Omega$, 则, 当下列条件之一满足时, $c\equiv0$, in $\Omega$, $c\geq0$, $\forall x\in\Omega$且$u(x_0)\leq0$, $u(x_0)=0$. 我们有, 对$\Omega$在$x_0$处的外法向量$\nu$, $$ \frac{\pt u(x_0)}{\pt\nu}<0. $$