Tag: 极坐标

假设$A$是$G$-主丛$P$的一个联络. 特别地, 我们假设$G$是紧李群, 这样他可视为某个正交群的子群, 进而局部地, 将$A$视为$\mathfrak{g}$-值的1-形式时, $A$是反对称矩阵. 现在假设$u,v$是$P$的局部截面, 则在极坐标系下, $A=A_rdr+A_\theta d\theta$ 以及 $$\nabla_A u=(d+A)u=u_{|r}dr+u_{|\theta}d\theta,\quad u_{|r}=\partial_r u+A_ru,\quad u_{|\theta}=\partial_\theta u+A_\theta u.$$ 现在, 我们关于$u_{|\theta}v_{|\theta}$有如下的分部积分公式. $$\int_{S^1}u_{|\theta}\cdot v_{|\theta}=-\int_{S^1}u_{|\theta\theta}\cdot v.$$