极坐标 – MathRlife

Van Abel July 28, 2021MATH极坐标, 欧氏度量 Leave a comment

欧氏度量、标准球度量在极坐标下的表达式

1. 欧氏度量在极坐标下的表达式假设 \[ \Psi: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^2,\quad x=(x^1,\ldots,x^n)\mapsto (r,\theta=(\phi_1,\ldots,\phi_{n-1}) \] 是欧氏空间中笛卡尔坐标系到球坐标系的变换, 则欧氏度量 \[ ds^2=\sum_{i=1}^n(dx^i)^2, \] 在极坐标系 \[ d\tilde{s}^2=(\Psi^{-1})^*ds^2 \] 下的表示为 \[ d\tilde{s}^2=dr^2+r^2d\sigma^2, \] 其中$d\sigma^2$为$\mathbb{R}^n$(标准欧氏空间)中的单位球的标准度量.

Van Abel August 2, 2017MATH共变微分, 分部积分, 极坐标 Leave a comment

极坐标下切向共变微分的一个分部积分公式

假设$A$是$G$-主丛$P$的一个联络. 特别地, 我们假设$G$是紧李群, 这样他可视为某个正交群的子群, 进而局部地, 将$A$视为$\mathfrak{g}$-值的1-形式时, $A$是反对称矩阵. 现在假设$u,v$是$P$的局部截面, 则在极坐标系下, $A=A_rdr+A_\theta d\theta$ 以及 $$ \nabla_A u=(d+A)u=u_{|r}dr+u_{|\theta}d\theta,\quad u_{|r}=\partial_r u+A_ru,\quad u_{|\theta}=\partial_\theta u+A_\theta u. $$ 现在, 我们关于$u_{|\theta}v_{|\theta}$有如下的分部积分公式. $$ \int_{S^1}u_{|\theta}\cdot v_{|\theta}=-\int_{S^1}u_{|\theta\theta}\cdot v. $$