Tag: α调和映照

假设$F=(1+\lvert \nabla u \rvert^2)^{\alpha-1}$, 则容易知道α调和映照的方程为 $$ \mathrm{div} (Fh_{ab}\nabla u^b)-F\Gamma_{ac}^d h_{bd}u_i^bu_i^c=0. $$ 其中, $h_{ab}$是靶流形$N \hookrightarrow \mathbb{R}^K$的度量, 而$\Gamma_{ab}^c$为该度量的Christoffel符号. 我们将偏导数简记为$u_i^a \mathpunct{:}=\partial_iu^a$. 直接展开知道 $$ Fh_{ab}\Delta u^b+F\nabla u^b\cdot \nabla u^c \partial_ch_{ab}+\frac{(\alpha-1)F}{1+\lvert \nabla u \rvert^2}\nabla\lvert \nabla u \rvert^2\cdot \nabla u^b h_{ab}-F\Gamma_{ac}^dh_{bd} \nabla u^b\nabla u^c=0. $$