Tag: Hopf引理

$$ Theorem 1. 假设$\Omega\subset\R^n$是一个有界开区域, 且$\pt\Omega$光滑. 又设 $$ L=-a^{ij}(x)D_{ij}+b^i(x)D_i+c(x), $$ 是$\Omega$上的一致椭圆算子($a^{ij}\xi_i\xi_j\geq\theta|\xi|^2$), $a^{ij}=a^{ji}$, $b^i$, $c$在$\bar\Omega$上连续. 假设$u\in C^2(\Omega)\cap C(\bar\Omega)$且$Lu\geq0$在$\Omega$中成立. 若存在半径为$r$的开球$B\subset\Omega$, 以及一点$x_0\in\pt B\cap\pt\Omega$, 使得 $u$在$x_0$处可微, $u(x)>u(x_0),\quad \forall x\in \Omega$, 则, 当下列条件之一满足时, $c\equiv0$, in $\Omega$, $c\geq0$, $\forall x\in\Omega$且$u(x_0)\leq0$, $u(x_0)=0$. 我们有, 对$\Omega$在$x_0$处的外法向量$\nu$, $$ \frac{\pt u(x_0)}{\pt\nu}<0. $$