Category: Uncategorized

1. 第一次 证明全纯函数$f=u+iv$的实部$u$与虚部$v$是调和的.对全纯函数证明极大值原理.假设$U\subset\mathbb{C}^n$是一个开集, 而$f:U\to\mathbb{C}$是全纯的. 证明对$n\geq2$, 零点集$Z(f)$不可能是一个单点集. 类似地, 证明对全纯函数$f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$, $n\geq2$以及$w=\mathrm{Im}(f)$, 存在$z\in f^{-1}(w)$, 使得$\|z\|>0$.令$\set{f_i}$是开集$U\subset\mathbb{C}^n$上列全纯函数, 假设对任何$V\subset\subset U$, 有$f_i$在$V$上一致收敛到$g$. 证明$g$也是全纯的.令$f:U\to V$是一个全纯映射. 证明自然拉回映照$f^*:\mathcal{A}^k(V)\to\mathcal{A}^k(U)$又到了$\mathcal{A}^{p,q}(U)$到$\mathcal{A}^{p,q}(V)$的映射. 这也表明$f^*\partial\alpha=\partial f^*\alpha$, $f^*\bar\partial\alpha=\partial f^*\alpha$.令$B\subset\mathbb{C}^n$是多圆盘且$\alpha\in\mathcal{A}^{p,q}$是$d$-闭的, $p,q\geq1$. 证明存在$\gamma\in\mathcal{A}^{p-1,q-1}(B)$使得$\partial\bar\partial\gamma=\alpha$.