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Van Abel January 7, 2024April 2, 2024MATHLanglands program, translation Leave a comment

[Translate] Automorphic Forms and Geometric Theories

Automorphic Forms and Geometric Theories Robert Langlands Abstract. This is the translation of original article written in Russian, which discusses advanced mathematical concepts related to the Langlands program, automorphic forms, and differential geometry.

Van Abel June 10, 2023MATHJensen, 不等式 Leave a comment

Jensen不等式

回忆，定义在区间$I=(a,b)$上的函数$\varphi$称为凸函数, 如果对任意的$a < x < b$, $a < y < b$, 以及任意的$0\leq\lambda\leq1$, 成立如下不等式 \begin{equation} \varphi\left( (1-\lambda)x+\lambda y \right)\leq (1-\lambda)\varphi(x)+\lambda\varphi(y). \label{eq:convex} \end{equation} 从图形上，假设$a < s < t < u < b$, 令 $t=(1-\lambda)s+\lambda u$, 则$\lambda= \frac{t-s}{u-s}$, $1-\lambda= \frac{u-t}{u-s}$, 从而\eqref{eq:convex}得到 \[ \varphi(t)\leq (1-\lambda)\varphi(s)+\lambda \varphi(u)\iff (1-\lambda)(\varphi(t)-\varphi(s))\leq \lambda \left( \varphi(u)-\varphi(t) \right), \] 故 \[ \frac{\varphi(t)-\varphi(s)}{t-s}\leq \frac{\varphi(u)-\varphi(t)}{u-t}. \]

Van Abel June 8, 2023MATH爆破分析, 脖子区域 Leave a comment

边界爆破的脖子区域分解图

如下图所示，脖子区域的分解图为 \[ D_\delta^+\setminus D_{r_nR}^+(x_n) =D_\delta^+\setminus D_{\delta/2}^+(x_n’) \cup D_{\delta/2}^+(x_n’)\setminus D_{2d_n}^+(x_n’) \cup D_{2d_n}^+(x_n’)\setminus D_{d_n}^+(x_n) \cup D_{d_n}^+(x_n)\setminus D_{r_nR}^+(x_n). \]

Van Abel June 5, 2023MATHharmonic maps, Pohozaev Leave a comment

调和映射的Pohozaev恒等式

$\newcommand{\div}{\mathrm{div}\,}$ 我们知道调和映射的方程为 $$ \Delta u+A(u)(\nabla u,\nabla u)=0, $$ 其中$u:M^2\to N$是黎曼流形间的映射而$A(u)$是$N\hookrightarrow \mathbb{R}^n$在$u$处的第二基本形式。我们将用两种办法来证明如下的Pohozaev恒等式。 Theorem 1 (Pohozaev恒等式). 假设$u:M^2\to N$是光滑调和映射，则有 \[ \int_{\partial B_\rho} \lvert u_r \rvert^2=\int_{B_\rho}r^{-2} \lvert u_\theta \rvert^2. \]

Van Abel June 4, 2023MATHmetapost, 平均曲率流, 离散 Leave a comment

离散平均曲率流的一种数值模拟

给定一个$n$-多边形, 假设其顶点满足方程 \[ \dot v_i(t)=\frac{\nu_i(t)}{\| \nu_i(t) \|^2}, \] 其中$\nu_i(t)$是顶点$v_{i-1},v_i,v_{i+1}$构成的三角形之外接圆心。它可以视为连续情形下的曲线平均曲率流的一种离散推广。我们知道连续情形下，平均曲率流有所谓的Gage-Hamilton-Grayson定理，它表明平均曲率流保持简单曲线为简单曲线。但下面的数值模拟表面，这个平均曲率流不一定保持曲线的简单性。

Van Abel June 1, 2023MATH三角剖分, 代数拓扑 Leave a comment

关于代数拓扑曲面分类定理:I

曲面分类定理的第一步是使用三角剖分，将曲面转化为简单多边形。Massey的书上列举了正方体的三角剖分转换为多边形的例子。这里，我们来看另一些例子。其基本想法是，通过对给定的剖分三角形重新编号$T_1,T_2,\ldots, T_n$, 使得$T_i$与$T_1,\ldots, T_{i-1}$至少有一条公共边, $i=2,3,\ldots, n$. Example 1 ([1,Ex.~7.1, P.~21]). 三角剖分为 124 236 134 246 367 347 469 459 698 678 457 259 289 578 358 125 238 135 References W. Massey, Algebraic topology: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 56, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. 0—387. Reprint of the 1967 edition. MR0448331