曲面分类定理的第一步是使用三角剖分,将曲面转化为简单多边形。Massey的书上列举了正方体的三角剖分转换为多边形的例子。这里,我们来看另一些例子。其基本想法是,通过对给定的剖分三角形重新编号$T_1,T_2,\ldots, T_n$, 使得$T_i$与$T_1,\ldots, T_{i-1}$至少有一条公共边, $i=2,3,\ldots, n$.
Example 1 ([1,Ex.~7.1, P.~21]). 三角剖分为
124 236 134 246 367 347 469 459 698 678 457 259 289 578 358 125 238 135
通过作图,得到剖分的曲面如图所示
即可等价描述为
$$
ab^{-1}cdebfgc^{-1}e^{-1}d^{-1}g^{-1}f^{-1}a^{-1}.
$$
通过作图,最终得到的简化多边形如图所示:
可等价描述为
$$
a^{-1}ab^{-1}bc^{-1}c.
$$
通过作图,
我们知道其简化多边形为
可等价描述为
$$
abcabc
$$
作图得到
它的简化多边形为
$$abcdea^{-1}c^{-1}b^{-1}e^{-1}d^{-1}$$
如图所示
Example 5 ([1,Ex.~7.5, P.~21]). 三角剖分为:
123 256 341 451 156 268 357 468 167 275 374 476 172 283 385 485
可等价表示为
$$
abcdeabcfe^{-1}d^{-1}f.
$$
References
- Algebraic topology: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 56, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. 0---387. Reprint of the 1967 edition. MR0448331 ,