Take notes of Mathematics
Author Van Abel Posted on November 16, 2015Categories MATH Leave a comment on $\log x\in BMO(\RR^+)$的验证
明显$L^\infty\subset BMO$, 为了说明反之不一定成立, 我们验证$u(x)=\log(x)$, $x\in(0,+\infty)$是属于BMO的. 按照BMO空间的定义, 需要证明 $$ [u]_{x,r}\eqdef\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}|u(y)-u_{x,r}|dy< +\infty,\quad\forall 0 < r < x. $$ 这里$u_{x,r}\eqdef\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}\log ydy$.
Author Van Abel Posted on November 8, 2015Categories MATH Leave a comment on $\RR^3$中叉积的矩阵变换公式
假设$\alpha,\beta$是$\RR^3$中两个行向量, $A$是$3\times 3$的可逆矩阵. 则关于叉积, 又如下公式 \[ (\alpha A)\times(\beta A)=(\alpha\times\beta)A^{-T} \det A. \] 其中$A^{-T}$表示逆矩阵的转置.
Author Van Abel Posted on July 24, 2015Categories SERVER Leave a comment on WP自动升级失败—不一致的文件权限wp-admin/includes/update-core.php
点击自动更新出现: The update cannot be installed because we will be unable to copy some files. This is usually due to inconsistent file permissions.: wp-admin/includes/update-core.php 大意是: 自动更新失败, 因为我们不能复制某些文件. 这通常是因为不一致的文件权限导致的, 请检查wp-admin/includes/update-core.php的文件权限. 其解决办法在这里: wordpress permissions update error resolved 具体地, 先切换到wp所在目录, 例如我的是在:/var/www/blog/ 更改wordpress目录下文件的权限为644: sudo find wordpress/ -type f -exec chmod 664 {} \; 更改wordpress目录下目录的权限为775: sudo find wordpress/ -type d -exec chmod 775 {} \; 更改wordpress目录下个文件以及目录的用户组: chgrp -R www-data wordpress/ 此外，升级时还会碰到提示输入ftp用户名密码， 这只需在`wp-config.php`中添加 `define(‘FS_METHOD’,’direct’);` 再次更新, 应该可以成功了.
Author Van Abel Posted on July 8, 2015Categories MATH Leave a comment on Holder连续函数的一个简单例子
为了方便理解Holder连续, 我这里举一个例子. Example 1. 令$f(x)=|x|^{\alpha}$, $1>\alpha>0$, 则$\|f\|_{C^\alpha[-1,1]}=1$. 为了直观起见, 函数$f$的图形如下
Author Van Abel Posted on July 7, 2015Categories MATH Leave a comment on Hadamard三圆定理
Hadamard三圆定理刻画了复平面上全纯函数在每个圆周上的极大模的对数凸性. 我们称述如下: Theorem 1. 假设$f$是环状区域$\CA\eqdef\set{z\in\CC|0<r_1\leq|z|\leq r_2}$上的全纯函数, 令$M_r\eqdef\max\set{|f(z)|:|z|=r}$, 则$\log M_r$是$\log r$的凸函数. 即, 对$0<r_1\leq r\leq r_2$, \[ \log M_r\leq(1-s)\log M_{r_1}+s\log M_{r_2}, \] 其中$s=\frac{\log r_1-\log r}{\log r_2-\log r_1}$. 且等号成立, 当且仅当$f(z)=c z^\lambda$, 其中$c$, $\lambda$是常数.
Author Van Abel Posted on March 5, 2014Categories MATH Leave a comment on 标准的椭圆理论:一个能量不等式
Proposition 1. 假设$u$是方程 $$ 0=\Delta u-\frac{1}{2}x\cdot \nabla u. $$ 的光滑解, 则我们有如下的能量不等式: $$\begin{equation} \int_{|x|< r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}|\nabla u|^2\rd x\leq\frac{c}{r^2}\int_{r< |x|< 2r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2\rd x,\quad\forall r >0. \end{equation}$$