Hadamard\u4e09\u5706\u5b9a\u7406\u523b\u753b\u4e86\u590d\u5e73\u9762\u4e0a\u5168\u7eaf\u51fd\u6570\u5728\u6bcf\u4e2a\u5706\u5468\u4e0a\u7684\u6781\u5927\u6a21\u7684\u5bf9\u6570\u51f8\u6027. \u6211\u4eec\u79f0\u8ff0\u5982\u4e0b:
\n
\u4e8b\u5b9e\u4e0a, \u56e0\u4e3a$g_\\eps$\u5149\u6ed1, \u53ea\u9700\u8bf4\u660e$\\Delta g_\\eps\\geq0$.
\n\\begin{align*}
\n\\frac{1}{4}\\Delta g_\\eps&=\\ppt{z}\\ppt{\\bar z}g_\\eps\\\\
\n&=\\ppt{z}\\dkf{\\frac{1}{2}\\frac{f\\overline{\\pt f}}{|f|^2+\\eps}}\\\\
\n&=\\frac{1}{2}\\frac{\\eps|\\pt f|^2}{\\xkf{|f|^2+\\eps}^2}\\geq0.
\n\\end{align*}
\n\u7279\u522b\u5730, \u82e5$f(z)=z$, \u5219\u5728$z\\neq0$\u7684\u5730\u65b9, \u5bf9\u4efb\u610f\u7684$\\alpha\\in\\RR$, \u6709$\\alpha\\log|z|=\\frac{\\alpha}{2}\\log|z|^2$\u662f\u8c03\u548c\u51fd\u6570. \u56e0\u6b64
\n\\[
\nh_\\eps(z)\\eqdef \\alpha\\log|z|+g_\\eps(z)=\\alpha\\log|z|+\\frac{1}{2}\\log(|f(z)|^2+\\eps),
\n\\]
\n\u5728$\\CA$\u4e0a\u662f\u6b21\u8c03\u548c\u51fd\u6570, \u7531\u6b21\u8c03\u548c\u51fd\u6570\u7684(\u5f31)\u6781\u5927\u503c\u539f\u7406\u77e5
\n\\[
\n\\alpha\\log|z|+g_\\eps(z)\\leq\\max\\bigg\\{\\alpha\\log r_1+\\max_{|z|=r_1}g_\\eps(z),\\alpha\\log r_2+\\max_{|z|=r_2}g_\\eps(z)\\bigg\\},\\quad\\forall z\\in\\CA.
\n\\]
\n\u7531\u4e8e$g_\\eps$\u5173\u4e8e$\\eps$\u662f\u8fde\u7eed\u7684, \u56e0\u6b64, \u4ee4$\\eps\\to0$, \u5f97\u5230
\n\\[
\n\\alpha\\log|z|+\\log|f(z)|\\leq\\max\\bigg\\{\\alpha\\log r_1+\\log M_{r_1},\\alpha\\log r_2+\\log M_{r_2}\\bigg\\},\\quad\\forall z\\in\\CA.
\n\\]
\n\u7279\u522b\u5730, \u53d6$\\alpha$\u4f7f\u5f97RHS\u76f8\u7b49, \u5373
\n\\[
\n\\alpha=\\frac{\\log M_{r_2}-\\log M_{r_1}}{\\log r_1-\\log r_2}.
\n\\]
\n\u5219\u4e0a\u5f0f\u53d8\u4e3a
\n\\[
\n\\log M_r\\leq\\alpha\\log (r_1\/r)+\\log M_{r_1},
\n\\]
\n\u4ee3\u5165$\\alpha$\u5373\u5f97\u8981\u8bc1\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f.
\n<\/div>
\n<\/p>\n