\u5047\u8bbe$E$\u662f\u4e00\u4e2a$G$-\u5411\u91cf\u4e1b(\u7279\u6b8a\u7684$G$\u4e1b), \u6211\u4eec\u77e5\u9053$E$\u7684\u89c4\u8303\u53d8\u6362\u4e1b$\\mathrm{Aut}_GE$\u662f\u5728\u5171\u8f6d\u4f5c\u7528
\n\\begin{align*}
\nG&\\to G\\\\
\nc_g:a&\\mapsto gag^{-1}
\n\\end{align*}
\n\u4e0b$E$\u7684\u4f34\u4e1b, \u800c$E$\u7684\u674e\u4ee3\u6570\u4e1b$\\mathfrak{g}_E$\u662f\u5728\u4f34\u968f\u8868\u793a\u4e0b$E$\u7684\u4f34\u4e1b. \u73b0\u5728\u5047\u8bbe$S\\in\\mathrm{Aut}_GE$\u662f\u4e00\u4e2a\u89c4\u8303\u53d8\u6362, \u800c$\\xi\\in\\Gamma(\\mathfrak{g}_E)$\u662f\u674e\u4ee3\u6570\u4e1b\u7684\u4e00\u4e2a\u622a\u9762, \u5219\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5b9a\u4e49
\n\\begin{equation}\\label{eq:variation}
\n S(t)=S\\exp(t\\xi),\\quad t\\geq0
\n\\end{equation}
\n\u5b83\u662f$S$\u7684\u4e00\u4e2a\u53d8\u5206, \u5373$S(0)=S$\u4e14$S(t)\\in\\Gamma(\\mathrm{Aut}_GE)$.
\n<\/p>\n
\u4e8b\u5b9e\u4e0a, \u5047\u8bbe\u5728$\\mathrm{Aut}_GE$\u7684\u5c40\u90e8\u5e73\u51e1\u5316$\\left\\{(\\Phi_\\alpha,U_\\alpha)\\right\\}$\u4e0b, $S$\u5c40\u90e8\u8868\u793a\u4e3a$(x,s_\\alpha)$. \u5373$S|_{U_\\alpha}=\\Phi_\\alpha^{-1}(x,s_\\alpha)$. \u6211\u4eec\u8bb0\u5728\u8be5\u5c40\u90e8\u5e73\u51e1\u5316\u4e0b\u5176\u8f6c\u79fb\u51fd\u6570\u4e3a$\\phi_{\\alpha\\beta}$, \u5219\u6309\u7167\u8f6c\u79fb\u51fd\u6570\u7684\u5b9a\u4e49
\n$$
\n \\Phi_\\beta^{-1}(x,s_\\beta)=S|_{U_\\beta}=S|_{U_\\alpha}=\\Phi_\\alpha^{-1}(x,s_\\alpha)
\n$$
\n\u8fd9\u8868\u660e
\n$$
\n s_\\beta=\\Phi_{\\beta\\alpha}(x)(s_\\alpha)=\\phi_{\\beta\\alpha}(x)\\cdot s_\\alpha.
\n$$
\n\u4e3a\u4e86\u65b9\u4fbf\u8d77\u89c1, \u6211\u4eec\u8bb0$\\phi_{\\beta\\alpha}=a\\in G$, \u8fd9\u91cc$\\cdot$\u8868\u793a\u7fa4\u4f5c\u7528, \u5373$a\\cdot s_\\alpha=as_\\alpha a^{-1}$.<\/p>\n
\u5b8c\u5168\u7c7b\u4f3c\u5730, \u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u5bf9\u674e\u4ee3\u6570\u4e1b$\\mathfrak{g}_E$, \u5728\u5176\u5c40\u90e8\u5e73\u51e1\u5316$\\left\\{(\\Psi_\\alpha,V_\\alpha)\\right\\}$\u4e0b, \u82e5\u8bb0\u5176\u8f6c\u79fb\u51fd\u6570\u4e3a$\\psi_{\\alpha\\beta}$, \u5219\u5bf9$\\xi$\u5728$V_\\alpha$\u4e0a\u7684\u5c40\u90e8\u8868\u793a$(x,v_\\alpha)$, \u6211\u4eec\u6709
\n$$
\n v_\\beta=\\psi_{\\beta\\alpha}\\cdot v_\\alpha.
\n$$
\n\u4e3a\u65b9\u4fbf\u8d77\u89c1, \u6211\u4eec\u8bb0$\\psi_{\\beta\\alpha}=b$(\u5176\u5b9e, \u5b83\u7b49\u4e8e$\\phi_{\\beta\\alpha}=a$, \u56e0\u4e3a\u4ed6\u4eec\u90fd\u662f$E$\u7684\u914d\u4e1b, \u4ece\u800c\u5177\u6709\u76f8\u540c\u7684\u8f6c\u79fb\u51fd\u6570(\u8fd9\u91cc\u7531\u4ece\u8f6c\u79fb\u51fd\u6570\u6784\u9020\u914d\u4e1b\u77e5$V_\\alpha$\u4e5f\u53ef\u53d6\u6210$U_\\alpha$)). \u6ce8\u610f\u5230\u8fd9\u91cc\u7684\u7fa4\u4f5c\u7528\u662f\u4f34\u968f\u4f5c\u7528, \u5373
\n$$
\n b\\cdot v_\\alpha=\\left.\\frac{d}{dt}\\right\\rvert_{t=0}b\\exp(tv_\\alpha)b^{-1}=bv_\\alpha b^{-1}.
\n$$
\n\u6700\u540e\u4e00\u4e2a\u7b49\u5f0f\u4e2d\u7684\u4e58\u6cd5\u662f\u77e9\u9635\u7684\u4e58\u6cd5.<\/p>\n
\u4e0b\u9762, \u4e3a\u4e86\u9a8c\u8bc1\\eqref{eq:variation}\u5b9a\u4e49\u826f\u597d, \u6211\u4eec\u53ea\u9700\u5728\u5c40\u90e8\u5e73\u51e1\u5316\u4e0b\u5b9a\u4e49, \u5e76\u8bc1\u660e\u8be5\u5b9a\u4e49\u57df\u5c40\u90e8\u5e73\u51e1\u5316\u7684\u9009\u62e9\u65e0\u5173\u5373\u53ef.<\/p>\n
\u4e8b\u5b9e\u4e0a, \u5047\u8bbe$u_\\alpha=\\exp(v_\\alpha)$, \u5219\\eqref{eq:variation}\u5c40\u90e8\u5b9a\u4e49\u4e3a
\n$$
\n S\\exp(t\\xi)|_{U_\\alpha}=\\Phi_{\\alpha}^{-1}(x,s_\\alpha\\exp(tv_\\alpha)).
\n$$
\n\u56e0\u6b64, \u6211\u4eec\u9700\u8981\u8bc1\u660e
\n$$
\ns_\\beta\\exp(tv_\\beta)=\\phi_{\\beta\\alpha}\\cdot s_\\alpha\\exp(tv_\\alpha)
\n=a s_\\alpha\\exp(tv_\\alpha)a^{-1}.
\n$$
\n\u5229\u7528\u77e9\u9635\u6307\u6570\u7684\u57fa\u672c\u4e8b\u5b9e, \u76f4\u63a5\u8ba1\u7b97\u77e5
\n\\begin{align*}
\ns_\\beta\\exp(tv_\\beta)&=as_\\alpha a^{-1}\\exp(tbv_\\alpha b^{-1})\\\\
\n&=as_\\alpha a^{-1}b\\exp(tv_\\alpha)b^{-1}\\\\
\n&=as_\\alpha\\exp(tv_\\alpha)a^{-1}.
\n\\end{align*}
\n\u6700\u540e\u4e00\u6b65\u6211\u4eec\u7528\u4e86$b=a$.
\n